Certa mercadoria de duas marcas diferentes foi adquirida por um negociante pelo mesmo preço de 2 reais a unidade.Estima-se que, se a mercadoria de uma das marcas for vendida por x reias a unidade e a outra por y reais a unidade, os consumidores comprarão diariamente 40-50 x+40 y unidades da mercadoria da primeira marca e 2=+60 x-70 y unidades da mercadoria da segunda marca. Qual deverá ser o preço de venda de cada mercadoria, para se obter o maior lucro possível? (suponha que o máximo absoluto e relativo da função lucro coincidam).

Passo 1

O enunciado diz que o comerciante paga 2 reais por unidade de cada marca e estima demandas lineares. Chamando de x o preço da primeira marca e de y o da segunda, temos as quantidades diárias
Q_1 = 40 - 50x + 40y,
Q_2 = 20 + 60x - 70y,
supondo que o termo “ 2=+60x-70y” do enunciado fosse na verdade 20+60x-70y. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis: montamos a função lucro e procuramos seu máximo absoluto.

Passo 2

A receita da primeira marca é x\,Q_1 e da segunda é y\,Q_2; como o custo de cada unidade é 2, o lucro total diário é
\pi(x,y) = (x-2)\,Q_1 \;+\;(y-2)\,Q_2.

Passo 3

Substituindo Q_1 e Q_2 e expandindo, obtemos
\pi(x,y) = (x-2)(40 -50x+40y)\;+\;(y-2)(20+60x-70y).
Fazendo as contas e coletando termos, chega-se a
\pi(x,y) = -50x^2 +100xy -70y^2 +20x +80y -120.

Passo 4

Para achar o ponto crítico, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial \pi}{\partial x} = -100x +100y +20 = 0,
\frac{\partial \pi}{\partial y} = 100x -140y +80 = 0.
Isso gera o sistema linear
\begin{cases} -100x +100y = -20,\\\\ 100x -140y = -80. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo esse sistema, encontra-se
x = 2{,}7,\quad y = 2{,}5.
Como a matriz Hessiana de \pi é definida negativa (traço negativo e determinante positivo), esse ponto é um máximo absoluto.

Resposta

x = 2{,}70 reais e y = 2{,}50 reais.

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