Estima-se que, se certos objetos de um tipo forem vendidos por x centenas de reais a unidade, e os de outro tipo, por y centenas de reais a unidade, serão vendidos aproximadamente 40-8 x+5 y unidades do primeiro tipoe 50+9 x-7 y unidades do segundo tipo. Se o negociante adquirir os objetos do primeirotipo por R \ 1000,00cada e os do segundo tipo, porR $3000,00$ cada, por quanto ele deverá vender cada objeto, para obter lucro máximo? (suponha que o máximo absoluto e relativo da função lucro coincidam).
Passo 1
O enunciado dá as funções demanda em unidades para dois tipos de objetos em função das variáveis \,x e \,y, que representam o preço de venda em centenas de reais:
– demanda do tipo 1:
q_1(x,y)=40 - 8x + 5y
– demanda do tipo 2:
q_2(x,y)=50 + 9x - 7y
Os custos unitários são C_1=1000 R$e C_2=3000 R$. Queremos montar a função lucro L(x,y) em reais e encontrar (x,y) que maximizem L. O método é usar derivadas parciais e estudar o Hessiano.
Passo 2
Definimos o preço de venda unitário em reais como
p_1 = 100x,\quad p_2 = 100y.
O lucro unitário de cada tipo é p_1 - C_1 = 100x - 1000 e p_2 - C_2 = 100y - 3000.
Logo a função lucro total é