Estima-se que, se certos objetos de um tipo forem vendidos por x centenas de reais a unidade, e os de outro tipo, por y centenas de reais a unidade, serão vendidos aproximadamente 40-8 x+5 y unidades do primeiro tipoe 50+9 x-7 y unidades do segundo tipo. Se o negociante adquirir os objetos do primeirotipo por R \ 1000,00 cada e os do segundo tipo, porR $3000,00$ cada, por quanto ele deverá vender cada objeto, para obter lucro máximo? (suponha que o máximo absoluto e relativo da função lucro coincidam).

Passo 1

O enunciado dá as funções demanda em unidades para dois tipos de objetos em função das variáveis \,x e \,y, que representam o preço de venda em centenas de reais:
– demanda do tipo 1:
q_1(x,y)=40 - 8x + 5y
– demanda do tipo 2:
q_2(x,y)=50 + 9x - 7y
Os custos unitários são C_1=1000 R$e C_2=3000 R$. Queremos montar a função lucro L(x,y) em reais e encontrar (x,y) que maximizem L. O método é usar derivadas parciais e estudar o Hessiano.

Passo 2

Definimos o preço de venda unitário em reais como
p_1 = 100x,\quad p_2 = 100y.
O lucro unitário de cada tipo é p_1 - C_1 = 100x - 1000 e p_2 - C_2 = 100y - 3000.
Logo a função lucro total é
L(x,y) = (100x - 1000)\,(40 - 8x + 5y)\;+\;(100y - 3000)\,(50 + 9x - 7y).

Passo 3

Expandindo os produtos, obtemos uma forma quadrática em x,y. Após simplificar,
L(x,y) = -800x^2 - 700y^2 + 1400\,xy \;-\;15000\,x +21000\,y \;-\;190000.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
\frac{\partial L}{\partial x} = -1600x +1400y -15000 = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 1400x -1400y +21000 = 0.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} -1600x + 1400y = 15000,\\\\ 1400x - 1400y = -21000, \end{cases}
divide-se por 100 e soma-se as equações para obter x=30. Substituindo, vem y=45.

Passo 6

O Hessiano de L é
H = \begin{pmatrix} L_{xx} & L_{xy}\\[6pt] L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1600 & 1400\\\\ 1400 & -1400 \end{pmatrix}.
Temos \det H = (-1600)(-1400) - (1400)^2 = 280000>0 e L_{xx}=-1600<0, logo é um máximo local (e portanto absoluto).]

Resposta

O lucro é maximizado quando x=30 (ou seja, preço de venda do tipo 1= R$ 3000)
e y=45 (ou seja, preço de venda do tipo 2= R$ 4500).

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