Determinar a função f=f(x, y), supondo que:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=0

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as funções f(x,y) tais que
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0.
Isso é um problema de equações diferenciais parciais elementar, em que a derivada mista de segunda ordem é nula. Vamos usar a propriedade de que, se \partial^2f/\partial x\partial y=0, então a derivada parcial de f em relação a x não depende de y.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Como
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr) =\frac{\partial u}{\partial y}=0,
segue que u(x,y) é função de x apenas. Então existe uma função g tal que
u(x,y)=g(x).

Passo 3

Integrando em x, obtemos
f(x,y)=\int u(x,y)\,dx =\int g(x)\,dx +H(y),
onde H(y) é a “constante” de integração, que aqui pode depender de y.

Passo 4

Chamando
G(x)=\int g(x)\,dx,
a solução geral fica
f(x,y)=G(x)+H(y),
isto é, a soma de uma função de x com uma função de y.

Resposta

A solução geral é
\boxed{f(x,y)=G(x)+H(y)},
onde G e H são funções arbitrárias (duas “constantes” de integração).

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