Uma certa mola de constante k=40 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e massa m=300 \mathrm{~g} possui uma de suas extremidades presa ao teto. Na outra extremidade existe um corpo de massa M=1 \mathrm{~kg}. Calcule: (a) a massa efetiva deste oscilador harmônico; (b) o período das oscilações.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola onde a mola tem constante elástica k=40\\ \mathrm{N/m} e massa própria m=300\\ \mathrm{g}=0,30\\ \mathrm{kg}, com uma extremidade presa e a outra ligada a um corpo de massa M=1,0\\ \mathrm{kg}. O conteúdo aqui é oscilador harmônico com mola massiva, e vamos precisar usar o resultado de que a massa efetiva dessa mola é um terço da sua massa própria.

Passo 2

Para montar o oscilador usamos a massa efetiva total
M_{\text{ef}} = M + \frac{m}{3},
pois a contribuição cinética da mola uniformemente distribuída equivale a adicionar m/3 à massa presa à sua extremidade.

Passo 3

Substituindo M=1{,}0\\ \mathrm{kg} e m=0{,}30\\ \mathrm{kg} na expressão de M_{\text{ef}}, temos
M_{\text{ef}} = 1{,}0 + \frac{0{,}30}{3} = 1{,}0 + 0{,}10 = 1{,}10\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

O período das pequenas oscilações de um oscilador harmônico massa–mola é
T = 2\pi \sqrt{\frac{M_{\text{ef}}}{k}}.
Substituindo M_{\text{ef}}=1{,}10\\ \mathrm{kg} e k=40\\ \mathrm{N/m},
T = 2\pi \sqrt{\frac{1{,}10}{40}} = 2\pi \sqrt{0{,}0275} \approx 2\pi \times 0{,}166 \approx 1{,}04\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) M_{\text{ef}} = 1{,}10\\ \mathrm{kg}.
(b) T \approx 1{,}04\\ \mathrm{s}.

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