Um corpo de massa m=0,5 \mathrm{~kg} está preso à extremidade de uma mola de constante k=80 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A outra extremidade da mola está presa ao teto. Uma pessoa sustenta o corpo sem provocar distensão na mola; em um dado instante, o corpo é largado sem velocidade inicial. Calcule: (a) a distância y máxima descida pelo corpo desde a posição de equilíbrio inicial da mola; (b) a amplitude do movimento harmônico simples estabelecido; (c) a freqüência deste movimento; (d) a distância entre a extremidade da
mola na posição de equilfbrio inicial e a extremidade da mola na posição de equilibrio final (depois que cessa o movimento oscilatório).

Passo 1

O enunciado descreve um corpo de massa m=0,5\:\mathrm{kg} preso a uma mola de constante elástica k=80\:\mathrm{N/m}. Inicialmente a mola não está distendida (extensão zero) pois uma pessoa sustenta o corpo. Ao soltar, o corpo desce performando oscilação vertical. O conteúdo envolvido é conservação de energia para achar o máximo afastamento e depois análise de movimento harmônico simples (MHS) em torno da posição de equilíbrio estático. Precisamos calcular:
(a) o deslocamento máximo y_{\max} a partir da posição inicial;
(b) a amplitude A do MHS;
(c) a frequência f;
(d) o deslocamento estático final da mola.

Passo 2

Para achar o deslocamento máximo y_{\max} a partir da posição em que a mola está sem extensão, aplicamos conservação de energia entre o instante de soltura ( y=0, velocidade zero, energia elástica nula) e o ponto de inversão ( y=y_{\max}, velocidade zero):
0 + 0 + 0 = \frac{1}{2}\,k\,y_{\max}^2 - m g\,y_{\max}.
Reorganizando temos
\frac{1}{2}k\,y_{\max}^2 = m g\,y_{\max} \quad\Longrightarrow\quad y_{\max}\Bigl(\tfrac{1}{2}k\,y_{\max}-m g\Bigr)=0
descartando y_{\max}=0,
y_{\max} = \frac{2\,m g}{k} = \frac{2\cdot0,5\cdot9{,}8}{80} =0{,}1225\:\mathrm{m}.

Passo 3

O MHS ocorre em torno da posição de equilíbrio estático, que é localizada em y_{\rm eq} = \tfrac{m g}{k}. A amplitude A é a distância entre o máximo afastamento e esse ponto:
y_{\rm eq} = \frac{m g}{k} = \frac{0,5\cdot9{,}8}{80} =0{,}06125\:\mathrm{m},
A = y_{\max}-y_{\rm eq} = \frac{2m g}{k}-\frac{m g}{k} = \frac{m g}{k} =0{,}06125\:\mathrm{m}.

Passo 4

A frequência do MHS é dada por
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{80}{0,5}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{160} \approx2{,}01\:\mathrm{Hz}.

Passo 5

Quando cessa o movimento, a mola estabiliza na posição de equilíbrio estático já calculada:
\Delta y = y_{\rm eq} = \frac{m g}{k} =0{,}06125\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) y_{\max}=0{,}1225\:\mathrm{m}
(b) A=0{,}06125\:\mathrm{m}
(c) f\approx2{,}01\:\mathrm{Hz}
(d) \Delta y=0{,}06125\:\mathrm{m}

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