Em uma certa montanha, a elevação
acima de um ponto
em um plano
ao nível do mar é de
onde
e
são dados em metros. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte. Um montanhista está no ponto
.
(a) Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao oeste, ele estará começando a subir ou descer?
(b) Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao nordeste, ele estará começando a subir ou descer?
(c) Em qual direção da bússola o montanhista deveria começar a caminhar para percorrer uma curva de nível (duas respostas)?
(a) Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao oeste, ele estará começando a subir ou descer?
(b) Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao nordeste, ele estará começando a subir ou descer?
(c) Em qual direção da bússola o montanhista deveria começar a caminhar para percorrer uma curva de nível (duas respostas)?
Passo 1
O enunciado dá a elevação de uma montanha por
e coloca o montanhista no ponto
, onde
. O que precisamos é de derivadas direcionais de
em direções dadas e também saber em que direções a derivada direcional é zero (isto é, curvas de nível). Para isso vamos usar o gradiente de
.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
No ponto
isso vale
Passo 3
Para saber se ele sobe ou desce ao caminhar para o oeste, tomamos o vetor unitário nessa direção:
A derivada direcional é
Como é negativo, a montanha “desce” quando ele vai para o oeste.
Passo 4
Para o nordeste, o vetor unitário é
Então
Como é positivo, ele “sobe” indo para o nordeste.
Passo 5
Curvas de nível têm derivada direcional zero, ou seja, buscamos vetores
tais que
Duas direções ortogonais ao gradiente (e portanto tangentes à curva de nível) são proporcionais a
e a
. Em termos de bússola,
aponta para um ângulo de
a partir do leste, isto é,
ao norte do leste, ou equivalentemente
a leste do norte (N 26°6′ E). A direção oposta é S 26°6′ W.
Resposta
(a) O montanhista desce.
(b) O montanhista sobe.
(c) Para seguir uma curva de nível, ele deve ir N 26°6′ E ou S 26°6′ W.
(b) O montanhista sobe.
(c) Para seguir uma curva de nível, ele deve ir N 26°6′ E ou S 26°6′ W.