Em uma certa montanha, a elevação z acima de um ponto (x, y) em um plano x y ao nível do mar é de
z=2000-0,02 x^2-0,04 y^2,
onde x, y e z são dados em metros. O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte. Um montanhista está no ponto (-20,5,1991).
(a) Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao oeste, ele estará começando a subir ou descer?
(b) Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao nordeste, ele estará começando a subir ou descer?
(c) Em qual direção da bússola o montanhista deveria começar a caminhar para percorrer uma curva de nível (duas respostas)?

Passo 1

O enunciado dá a elevação de uma montanha por
z = 2000 - 0,02x^2 - 0,04y^2,
e coloca o montanhista no ponto (x,y)=(-20,5), onde z=1991. O que precisamos é de derivadas direcionais de z em direções dadas e também saber em que direções a derivada direcional é zero (isto é, curvas de nível). Para isso vamos usar o gradiente de z.

Passo 2

Calculamos o gradiente de z:
nabla z = l(partial zpartial x,,partial zpartial yr) = l(-0,04x,,-0,08yr)
No ponto (x,y)=(-20,5) isso vale
nabla z(-20,5) = l(-0,04cdot(-20),,-0,08cdot5r) = (0,8,,-0,4)

Passo 3

Para saber se ele sobe ou desce ao caminhar para o oeste, tomamos o vetor unitário nessa direção:
uoeste = (-1,0)
A derivada direcional é
Duoestez = nabla zcdot uoeste = (0,8,,-0,4)cdot(-1,0) = -0,8 < 0
Como é negativo, a montanha “desce” quando ele vai para o oeste.

Passo 4

Para o nordeste, o vetor unitário é
uNE = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)
Então
DuNEz = (0,8,,-0,4)cdotl(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r) = 0,8-0,4raiz2 = 0,4raiz2>0
Como é positivo, ele “sobe” indo para o nordeste.

Passo 5

Curvas de nível têm derivada direcional zero, ou seja, buscamos vetores u=(u1,u2) tais que
nabla zcdot u = 0 Longrightarrow 0,8,u1 -0,4,u2 = 0 Longrightarrow u1 = tfrac12u2
Duas direções ortogonais ao gradiente (e portanto tangentes à curva de nível) são proporcionais a (1,2) e a (-1,-2). Em termos de bússola, (1,2) aponta para um ângulo de
arctan!l(tfrac21r)approx63,4^circ
a partir do leste, isto é, 63,4^circ ao norte do leste, ou equivalentemente 26,6^circ a leste do norte (N 26°6′ E). A direção oposta é S 26°6′ W.

Resposta

(a) O montanhista desce.
(b) O montanhista sobe.
(c) Para seguir uma curva de nível, ele deve ir N 26°6′ E ou S 26°6′ W.

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