Use o Teorema do Valor Médio para demonstrar a desigualdade
|sen(a)-sen(b)| <=|a-b|
Para quaisquer a, b in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer a,binR, vale
|sen(a)-sen(b)| <= |a-b|
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções diferenciáveis, além de saber que a derivada de sen(x) é cos(x) e que |cos(x)|<=1 para todo x.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=sen(x)
Então f é contínua em qualquer intervalo fechado e diferenciável em qualquer intervalo aberto, e
f'(x) = cos(x)
Como |cos(x)|<=1 para todo x, temos
l|f'(x)r|<=1para todo xinR

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, aplicado à função f no intervalo com extremos a e b, existe c no segmento aberto entre a e b tal que
f(a)-f(b) = f'(c),(a-b)
Isto é,
sen(a)-sen(b) = cos(c),(a-b)

Passo 4

Tomando valor absoluto em ambos os lados e usando l|cos(c)r|<=1, obtemos
l|sen(a)-sen(b)r| = l|cos(c)r|;l|a-br| <= 1cdotl|a-br| = l|a-br|
Isso demonstra exatamente a desigualdade pedida.

Resposta

A desigualdade
|sen(a)-sen(b)| <= |a-b|
vale para quaisquer a,binR.

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