Use o Teorema do Valor Médio para demonstrar a desigualdade
Para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
, vale
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções diferenciáveis, além de saber que a derivada de
é
e que
para todo
.
Passo 2
Definimos a função
Então
é contínua em qualquer intervalo fechado e diferenciável em qualquer intervalo aberto, e
Como
para todo
, temos
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, aplicado à função
f no intervalo com extremos
a e
b , existe
c no segmento aberto entre
a e
b tal que
Isto é,
Passo 4
Tomando valor absoluto em ambos os lados e usando
l|cos(c)r|<=1 , obtemos
Isso demonstra exatamente a desigualdade pedida.
Resposta
A desigualdade
vale para quaisquer
a,binR .