Em uma certa palestra sobre Física dos Fluidos, uma professora propôs que a densidade
de um certo fluido em equilibrio varia conforme a seguinte lei
, onde
é a densidade do fluido no nível
(altura ou profundidade),
é uma constante positiva e zé a profundidade ou altura. Em seguida a professora fez a seguinte pergunta uos alunos: “Esse fluido é o ar atmosférico (atmosfera terrestre) ou a agua de um grande lago, cuja salinidade é extremamente alta (corpo aquático)?”. Com base nesse desafio feito por essa professora responda as seguintes questões:
a) A unidade de
sabendo que a unidade
é dada em
(metros)
b) Qual a forma mais adequada para responder à pergunta da professora? (Dica: tente calcular a variação de
funç̣̃̃o do parâmetro
)
c) A taxa de variação da pressão em relação ao parâmetro
d) Estabeleça (deduza) uma relação da pressão em função de
e dos demais parâmetros do problema (
e
) (Dica: tome os seguintes limites ou condiçoes de contorno inicial
ep
)
e) Faça um gráfico da densidade
em função de z. Para a construção desse gráfico utilize
o intervalo de
. Faça uma análise do que acontece com a densidade quando
valores elevados; e responda: é possivel que a densidade ultrapasse o dobro do seu valor inicial? Justifique!!
a) A unidade de
b) Qual a forma mais adequada para responder à pergunta da professora? (Dica: tente calcular a variação de
c) A taxa de variação da pressão em relação ao parâmetro
d) Estabeleça (deduza) uma relação da pressão em função de
e) Faça um gráfico da densidade
Passo 1
O enunciado dá a densidade de um fluido em equilíbrio
onde
é a densidade em
,
é constante e
é profundidade (ou altura). Vamos precisar de: análise dimensional (para a unidade de
), derivadas (para variação de
e de
), equação de equilíbrio hidrostático (para
) e integração (para achar
). Finalmente faremos um gráfico de
para valores numéricos.
Passo 2
Para encontrar a unidade de
, note que o argumento do exponencial
deve ser adimensional. Como
está em metros, temos
Passo 3
A variação de
em função de
vem de
Como
, a densidade aumenta com
. Isso é característico de um líquido (água salgada), não do ar (onde a densidade decresce com altura).
Passo 4
Pela equação de equilíbrio hidrostático (eixo
apontando para cima),
Passo 5
Integramos de
a
, usando
:
Logo
Passo 6
Definimos numericamente
Para
,
. Para
grande,
e
.
O gráfico é uma curva monótona crescente, com concavidade decrescente e assíntota horizontal em .
O gráfico é uma curva monótona crescente, com concavidade decrescente e assíntota horizontal em
Análise: à medida que
,
mas nunca ultrapassa
. Portanto, a densidade não pode passar do dobro de seu valor inicial; ela apenas se aproxima assintoticamente desse limite.
Resposta
a)
b) , que é positivo, mostrando que
cresce com
, como em um líquido.
c) .
d) .
e) Gráfico de em
: curva crescente que se aproxima de
. Quando
,
e nunca ultrapassa o dobro da densidade inicial.
b)
c)
d)
e) Gráfico de