Em uma certa palestra sobre Física dos Fluidos, uma professora propôs que a densidade rho de um certo fluido em equilibrio varia conforme a seguinte lei rho= rho0(2-e^-k z), onde rho0 é a densidade do fluido no nível z=0 (altura ou profundidade), k é uma constante positiva e zé a profundidade ou altura. Em seguida a professora fez a seguinte pergunta uos alunos: “Esse fluido é o ar atmosférico (atmosfera terrestre) ou a agua de um grande lago, cuja salinidade é extremamente alta (corpo aquático)?”. Com base nesse desafio feito por essa professora responda as seguintes questões:
a) A unidade de k sabendo que a unidade z é dada em m (metros)
b) Qual a forma mais adequada para responder à pergunta da professora? (Dica: tente calcular a variação de rho em funç̣̃̃o do parâmetro z )
c) A taxa de variação da pressão em relação ao parâmetro z
d) Estabeleça (deduza) uma relação da pressão em função de z e dos demais parâmetros do problema ( rho0, g, p0 e k ) (Dica: tome os seguintes limites ou condiçoes de contorno inicial z=0 ep =p0 )
e) Faça um gráfico da densidade rho em função de z. Para a construção desse gráfico utilize rho0=1025 Kg / m^3, k=0,09 e o intervalo de z[0,200]. Faça uma análise do que acontece com a densidade quando z valores elevados; e responda: é possivel que a densidade ultrapasse o dobro do seu valor inicial? Justifique!!

Passo 1

O enunciado dá a densidade de um fluido em equilíbrio
rho(z)=rho0l(2-e^-kzr),
onde rho0 é a densidade em z=0, k>0 é constante e z é profundidade (ou altura). Vamos precisar de: análise dimensional (para a unidade de k), derivadas (para variação de rho e de p), equação de equilíbrio hidrostático (para dp/dz) e integração (para achar p(z)). Finalmente faremos um gráfico de rho(z) para valores numéricos.

Passo 2

Para encontrar a unidade de k, note que o argumento do exponencial -kz deve ser adimensional. Como z está em metros, temos
[k]times [z]=1 Longrightarrow [k]=m^-1

Passo 3

A variação de rho em função de z vem de
drhodz =ddzl[rho0(2-e^-kz)r] =rho0,k,e^-kz
Como drho/dz>0, a densidade aumenta com z. Isso é característico de um líquido (água salgada), não do ar (onde a densidade decresce com altura).

Passo 4

Pela equação de equilíbrio hidrostático (eixo z apontando para cima),
dpdz=-rho(z),g =-rho0,gl(2-e^-kzr)

Passo 5

Integramos de 0 a z, usando p(0)=p0:
p(z)-p0 =-rho0gintegral0^zl(2-e^-kz'r),dz' =-rho0gl[2z+e^-kz-1kr]
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p(z) =p0-2rho0g,z-rho0gkl(e^-kz-1r)

Passo 6

Definimos numericamente
rho(z)=1025l(2-e^-0,09,zr), zin[0,200]
Para z=0, rho=1025. Para z grande, e^-0,09zto0 e rhoto2times1025=2050.
O gráfico é uma curva monótona crescente, com concavidade decrescente e assíntota horizontal em rho=2050.
Análise: à medida que ztoinfty, rho(z)to2rho0 mas nunca ultrapassa 2rho0. Portanto, a densidade não pode passar do dobro de seu valor inicial; ela apenas se aproxima assintoticamente desse limite.

Resposta

a) m^-1
b) drhodz=rho0k,e^-kz, que é positivo, mostrando que rho cresce com z, como em um líquido.
c) dpdz=-rho(z),g=-rho0gl(2-e^-kzr).
d) p(z)=p0-2rho0g,z-rho0gkl(e^-kz-1r).
e) Gráfico de rho(z)=1025(2-e^-0,09z) em zin[0,200]: curva crescente que se aproxima de 2050 kg/m^3. Quando ztoinfty, rhoto2rho0 e nunca ultrapassa o dobro da densidade inicial.

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