Um estudo das propriedades físicas de um lago mostrou que a densidade da água desse mesmo lago varia em função da profundidade
conforme a seguinte lei;
, sendo
uma constante e
a profundidade. Nesse contexto pede-se:
a) Qual é a expressão da taxa local da variação vertical da pressão P em função de z ?
b) Qual é a expressão da pressão
em função da profundidade
?
c) Qual deve ser a unidade da constante
, uma vez que a unidades da densidade
e da profundidade
são respectivamente é
.
d) Supondo agora que um objeto, cuja densidade é
a da densidade da água desse lago, desprende-se do fundo desse lago e começa a subir até a superficie do lago. Qual é a aceleração desse objeto ao longo da sua trajetória até chegar na superficie do lago? Note que a densidade da água do lago não é mais constante.
a) Qual é a expressão da taxa local da variação vertical da pressão P em função de z ?
b) Qual é a expressão da pressão
c) Qual deve ser a unidade da constante
d) Supondo agora que um objeto, cuja densidade é
Passo 1
O enunciado nos dá que a densidade da água varia com a profundidade
segundo
onde
é constante e
é a profundidade (medida a partir da superfície, eixo positivo para baixo). Pede-se:
a) a taxa local de variação vertical da pressão em função de
;
b) a expressão de ;
c) a unidade de ;
d) a aceleração de um objeto de densidade da água do lago, que sobe do fundo até a superfície.
a) a taxa local de variação vertical da pressão
b) a expressão de
c) a unidade de
d) a aceleração de um objeto de densidade
Passo 2
Para a parte (a) usamos a equação da hidrostaticidade, que relaciona a derivada da pressão com a densidade do fluido:
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Para a parte (b) integramos em
, tomando
(pressão na superfície, por exemplo atmosférica):
Passo 4
Para a parte (c) usamos que
e
. Como
, então
Passo 5
Para a parte (d) aplicamos o princípio de Arquimedes: um corpo de volume
no ponto de profundidade
sofre empuxo
e seu peso vale
Dado que
, o empuxo excede o peso em
A massa do objeto é
, então a aceleração
é
Note que
cancela, e a aceleração é constante (independente de
), dirigida para cima.
Resposta
a)
b)
c)
d) para cima.
b)
c)
d)