Um estudo das propriedades físicas de um lago mostrou que a densidade da água desse mesmo lago varia em função da profundidade z conforme a seguinte lei; rho=k z, sendo k uma constante e z a profundidade. Nesse contexto pede-se:
a) Qual é a expressão da taxa local da variação vertical da pressão P em função de z ?
b) Qual é a expressão da pressão P em função da profundidade z ?
c) Qual deve ser a unidade da constante k, uma vez que a unidades da densidade rho e da profundidade z são respectivamente é kg / m^3 e m.
d) Supondo agora que um objeto, cuja densidade é 90 % a da densidade da água desse lago, desprende-se do fundo desse lago e começa a subir até a superficie do lago. Qual é a aceleração desse objeto ao longo da sua trajetória até chegar na superficie do lago? Note que a densidade da água do lago não é mais constante.

Passo 1

O enunciado nos dá que a densidade da água varia com a profundidade z segundo
rho(z)=k,z,
onde k é constante e z é a profundidade (medida a partir da superfície, eixo positivo para baixo). Pede-se:
a) a taxa local de variação vertical da pressão P em função de z;
b) a expressão de P(z);
c) a unidade de k;
d) a aceleração de um objeto de densidade 90% da água do lago, que sobe do fundo até a superfície.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a equação da hidrostaticidade, que relaciona a derivada da pressão com a densidade do fluido:
dPdz=rho(z),g
Substituindo rho(z)=k,z, obtemos
dPdz=k,z,g

Passo 3

Para a parte (b) integramos em z, tomando P(0)=P0 (pressão na superfície, por exemplo atmosférica):
P(z)=P0+integral0^zk,z',g,dz' =P0+k,gintegral0^zz',dz' =P0+tfrac12,k,g,z^2

Passo 4

Para a parte (c) usamos que [rho]=kg/m^3 e [z]=m. Como rho=k,z, então
[k]=[rho][z]=kg/m^3m =kg/m^4

Passo 5

Para a parte (d) aplicamos o princípio de Arquimedes: um corpo de volume V no ponto de profundidade z sofre empuxo
Fb=rho(z),V,g
e seu peso vale
Fg=rhorm obj,V,g
Dado que rhorm obj=0,9,rho(z), o empuxo excede o peso em
Frm net=Fb-Fg =V,gl[rho(z)-0,9,rho(z)r] =0,1,rho(z),V,g
A massa do objeto é m=rhorm objV=0,9,rho(z),V, então a aceleração a é
a=Frm netm =0,1,rho(z),V,g0,9,rho(z),V =0,10,9,g =19,g
Note que rho(z) cancela, e a aceleração é constante (independente de z), dirigida para cima.

Resposta

a) dPdz=k,z,g
b) P(z)=P0+tfrac12,k,g,z^2
c) [k]=kg/m^4
d) a=g9 para cima.

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