Uma certa partícula de massa m=3,50 kg está sofrendo a ação de 3 forças distintâe
F1(t)=(-1,50 Ns^-2 cdot t^2+4,00 N) i-(5,00 N) jmath F2(t)=(-7,50 Ns^-1 cdot t-5,00 N) i+(12,5 Ns^-1 cdot t-2,50 N) jmath F3(t)=(15,0 Ns^-1 cdot t-8,00 N) imath+(-3,50 Ns^-1 cdot t) jmath
Essa partícula parte da posição inicial ri=1,50 m imath-3,00 m jmath, com velocidade inicial vi= -20,0 m s^-1 imath+17,5 m s^-1 jmath.
a) Encontre as funções que descrevem a força resultante e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) Encontre as funções que descrevem a velocidade e a posição da partícula em função do tempo: v(t) e r(t).
c) Qual a distância da partícula em relação a seu ponto de partida no instante t=5,00 s ? Qual o módulo de sua velocidade e de sua aceleração nesse instante?

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=3,50 kg sujeita a três forças variando com o tempo, parte de uma posição e velocidade iniciais conhecidas. O conteúdo é segunda lei de Newton (resultado de forças e aceleração) e integração de funções de aceleração para obter velocidade e posição.

Passo 2

Para achar a força resultante somamos componente a componente:
Somando em i:
F1x(t) + F2x(t) + F3x(t) =l(-1,50,t^2+4r)+l(-7,50,t-5r)+l(15,0,t-8r) =-1,5,t^2+7,5,t-9
Somando em j:
F1y(t)+F2y(t)+F3y(t) =(-5)+(12,5,t-2,5)+(-3,5,t) =9,t-7,5
Logo
vec F(t)=(-1,5t^2+7,5t-9),hatimath+(9t-7,5),hatjmath

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton vec a=vec F/m:
ax(t)=-1,5t^2+7,5t-93,5=-37t^2+157t-187
ay(t)=9t-7,53,5=187t-157
vec a(t)=l(-tfrac37t^2+tfrac157t-tfrac187r),hatimath+l(tfrac187t-tfrac157r),hatjmath

Passo 4

Para obter a velocidade integramos vec a(t) e usamos vec v(0)=(-20,0,,17,5):
vx(t)=integral ax(t),dt -20 =-tfrac17t^3+tfrac1514t^2-tfrac187t-20
vy(t)=integral ay(t),dt +17,5 =tfrac97t^2-tfrac157t+17,5
vec v(t)=l(-tfrac17t^3+tfrac1514t^2-tfrac187t-20r),hatimath+l(tfrac97t^2-tfrac157t+17,5r),hatjmath

Passo 5

Para achar a posição integramos vec v(t) e usamos vec r(0)=(1,5,-3,0):
rx(t)=integral vx(t),dt+1,5 =-tfrac128t^4+tfrac514t^3-tfrac97t^2-20t+1,5
ry(t)=integral vy(t),dt-3,0 =tfrac37t^3-tfrac1514t^2+17,5t-3,0
vec r(t)=l(-tfrac128t^4+tfrac514t^3-tfrac97t^2-20t+1,5r),hatimath+l(tfrac37t^3-tfrac1514t^2+17,5t-3,0r),hatjmath

Passo 6

No instante t=5,00 calculamos:
vec a(5)=(-tfrac187),hatimath+(tfrac757),hatjmathapprox(-2,571,;10,714)nobreak,nobreakhatimath,hatjmath
vec v(5)=(-23,929),hatimath+(38,929),hatjmath
A distância ao ponto inicial é
vec r(5)=(-108,32),hatimath+(111,29),hatjmath
O módulo da velocidade e da aceleração:
|De

Resposta

a) vec F(t)=(-1,5t^2+7,5t-9),hatimath+(9t-7,5),hatjmath,
vec a(t)=l(-tfrac37t^2+tfrac157t-tfrac187r),hatimath+l(tfrac187t-tfrac157r),hatjmath.
b) vec v(t)=l(-tfrac17t^3+tfrac1514t^2-tfrac187t-20r),hatimath+l(tfrac97t^2-tfrac157t+17,5r),hatjmath,
vec r(t)=l(-tfrac128t^4+tfrac514t^3-tfrac97t^2-20t+1,5r),hatimath+l(tfrac37t^3-tfrac1514t^2+17,5t-3,0r),hatjmath.
c) Distância ao ponto de partida em t=5~s: 158,52~m;
|vec v(5)|approx45,71~m/s;
|vec a(5)|approx11,02~m/s².

Exercícios relacionados