Encontre o ínfimo e supremo dos seguintes conjuntos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto S = {1} ∪ (2,3] ∪ (4,10). Isso envolve o conteúdo de ordenação em ℝ, mais especificamente as definições de maior limite inferior (ínfimo) e menor limite superior (supremo). Vamos usar as propriedades de conjuntos intervalares e pontos isolados para achar essas cotas.
Passo 2
Para achar o ínfimo, lembramos que o ínfimo de S é o maior dos limites inferiores de S. Observando S, vemos que ele contém o ponto 1, e todos os outros elementos são maiores que 1. Logo, 1 é uma cota inferior e não há nenhum valor maior que também seja cota inferior. Além disso, como 1 está em S, 1 é de fato o mínimo. Portanto, ínf(S) = 1.
Passo 3
Para achar o supremo, lembramos que o supremo de S é o menor dos limites superiores de S. O ramo aberto (4,10) se estende arbitrariamente próximo de 10, mas sem incluir 10, e não há elemento de S maior que 10. Assim, 10 é uma cota superior e não existe cota superior menor. Como 10 não está em S, não há máximo. Logo, sup(S) = 10.
Resposta
O ínfimo de S é 1 e o supremo de S é 10.