Encontre uma equação da tangente à curva x=sen pi t, y=t^2+t no ponto (0,2).
408,0 d yd x=d yd td xd t ; d yd t=2 t+1 ; d xd t=pi cos (pi t) ; d rd x cdot 2 t+1pi cos (pi t) (y-y0)=m cdot(X-X0) (y-2)=2 t+1pi cos (pi t) cdot(x-0)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva paramétrica x = \operatorname{sen}(\pi t), y = t^{2}+t no ponto (0,2). Isso entra na matéria de curvas paramétricas e a gente vai precisar usar derivadas paramétricas com a relação dydx=dy/dtdx/dt.

Passo 2

Para encontrar o(s) valor(es) de t que geram o ponto (0,2), resolvemos simultaneamente x=sen(pi t)=0 e y=t^2+t=2.
Da primeira equação sen(pi t)=0 vem pi t = kpi, ou seja, t=k para qualquer inteiro k. Da segunda t^2+t-2=0 obtemos as soluções t=1 ou t=-2. Ambos satisfazem sen(pi t)=0, então a curva passa em (0,2) para t=1 e t=-2.

Passo 3

Calculamos agora as derivadas paramétricas: dydt=2t+1 e dxdt=picos(pi t). A inclinação da tangente é m=dy/dtdx/dt.
Substituindo t=1 em m, temos
m=2cdot1+1picos(pi)=3picdot(-1)=-3pi
Se usássemos t=-2 daria exatamente o mesmo valor -3/pi.

Passo 4

Com a inclinação m=-tfrac3pi e o ponto (0,2), montamos a equação da reta no formato (y-y0)=m(x-x0), ficando:
y-2=-3pi,x

Resposta

y-2=-\frac{3}{\pi}x

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