Encontre uma equação da tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva paramétrica x = \operatorname{sen}(\pi t), y = t^{2}+t no ponto (0,2). Isso entra na matéria de curvas paramétricas e a gente vai precisar usar derivadas paramétricas com a relação
.
Passo 2
Para encontrar o(s) valor(es) de t que geram o ponto (0,2), resolvemos simultaneamente
e
.
Da primeira equação vem
, ou seja,
para qualquer inteiro
. Da segunda
obtemos as soluções
ou
. Ambos satisfazem
, então a curva passa em (0,2) para
e
.
Da primeira equação
Passo 3
Calculamos agora as derivadas paramétricas:
e
. A inclinação da tangente é
.
Substituindo em
, temos
Substituindo
Se usássemos
daria exatamente o mesmo valor
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto (0,2), montamos a equação da reta no formato
, ficando:
Resposta
y-2=-\frac{3}{\pi}x