Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
calcule:
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda do estado fundamental de uma partícula quântica:
Precisamos calcular o valor esperado de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente o cálculo de valores esperados usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para calcular o valor esperado de $ x $:
Aqui, $ |\psi(x)|^{2} $ representa a densidade de probabilidade da partícula estar em uma posição $ x $.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de onda $ \psi_{0}(x) $ na fórmula:
Como $ A_{0} $ é uma constante real (normalização), podemos simplificar:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x | A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar |^2 dx
Passo 4
Observamos que a função $ x e^{-m \omega x^{2} / \hbar} $ é uma função ímpar, pois $ x $ é ímpar e o expoente é par. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero ( x e^-m omega x^2 / hbar a x ), o resultado é sempre zero.
Passo 5
Portanto, sem precisar calcular a integral, concluímos que:
lang<= x rang<= = 0
Resposta
O valor esperado de $ x $ é zero, ou seja, $ \langle x \rangle = 0 $.