Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
psi0(x)=A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar
calcule:
(a) lang<= xrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda do estado fundamental de uma partícula quântica:
psi0(x) = A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar
Precisamos calcular o valor esperado de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente o cálculo de valores esperados usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para calcular o valor esperado de $ x $:
x
Aqui, $ |\psi(x)|^{2} $ representa a densidade de probabilidade da partícula estar em uma posição $ x $.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda $ \psi_{0}(x) $ na fórmula:
psi0(x)
Como $ A_{0} $ é uma constante real (normalização), podemos simplificar:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x | A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar |^2 dx

Passo 4

Observamos que a função $ x e^{-m \omega x^{2} / \hbar} $ é uma função ímpar, pois $ x $ é ímpar e o expoente é par. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero ( x e^-m omega x^2 / hbar a x ), o resultado é sempre zero.

Passo 5

Portanto, sem precisar calcular a integral, concluímos que:
lang<= x rang<= = 0

Resposta

O valor esperado de $ x $ é zero, ou seja, $ \langle x \rangle = 0 $.

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