Certa pessoa faz hoje uma aplicação de
5.000,00$ uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde
é o valor da aplicação no instante
, sendo
dado em meses e
em reais. Observe que o capital
está variando a uma taxa
que é proporcional ao valor do capital no instante
, sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
(a) Qual o valor do capital aplicado no instante
?
(b) Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
(c) Qual a taxa mensal de juros compostos que a instituição financeira está pagando?
(d) Interprete o coeficiente de proporcionalidade 0,02 .
(a) Qual o valor do capital aplicado no instante
(b) Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
(c) Qual a taxa mensal de juros compostos que a instituição financeira está pagando?
(d) Interprete o coeficiente de proporcionalidade 0,02 .
Passo 1
O enunciado descreve uma aplicação inicial de
sujeita à equação diferencial
onde
é o capital (em reais) no instante
(em meses). O conteúdo é solução de equação diferencial de crescimento exponencial, usando separação de variáveis.
Passo 2
Separamos variáveis e integramos:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Em
temos
, logo
. Portanto
Passo 3
Para
mês,
Para
meses,
Passo 4
A taxa efetiva de juros compostos mensal
satisfaz
portanto
Passo 5
O coeficiente
é a taxa de juros contínuos mensais, ou seja, o crescimento instantâneo proporcional do capital por mês. Em outras palavras, a qualquer instante o capital cresce à razão de
ao mês em contínuo.
Resposta
(a)
(b) , \quad
(c) (aprox.
ao mês).
(d) O coeficiente é a taxa de juros contínuos mensais, isto é, o crescimento proporcional instantâneo do capital de
por mês.
(b)
(c)
(d) O coeficiente