Certa pessoa faz hoje uma aplicação de 5.000,00$ uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde é o valor da aplicação no instante , sendo dado em meses e em reais. Observe que o capital está variando a uma taxa que é proporcional ao valor do capital no instante , sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
(a) Qual o valor do capital aplicado no instante ?
(b) Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
(c) Qual a taxa mensal de juros compostos que a instituição financeira está pagando?
(d) Interprete o coeficiente de proporcionalidade 0,02 .

Passo 1

O enunciado descreve uma aplicação inicial de R$,5000 sujeita à equação diferencial
dCdt=0,02,C,
onde C(t) é o capital (em reais) no instante t (em meses). O conteúdo é solução de equação diferencial de crescimento exponencial, usando separação de variáveis.

Passo 2

Separamos variáveis e integramos:
dCC=0,02,dt
integraldCC=integral0,02,dt
ln|C|=0,02,t + K,
onde K é constante de integração. Exponenciando,
C(t)=e^K,e^0,02,t
Em t=0 temos C(0)=5000, logo e^K=5000. Portanto
C(t)=5000,e^0,02,t

Passo 3

Para t=1 mês,
C(1)=5000,e^0,02cdot1=5000,e^0,02
Para t=2 meses,
C(2)=5000,e^0,02cdot2=5000,e^0,04

Passo 4

A taxa efetiva de juros compostos mensal i satisfaz
1+i=e^0,02,
portanto
i=e^0,02-1approx0,020201dotsapprox2,02%

Passo 5

O coeficiente 0,02 é a taxa de juros contínuos mensais, ou seja, o crescimento instantâneo proporcional do capital por mês. Em outras palavras, a qualquer instante o capital cresce à razão de 2% ao mês em contínuo.

Resposta

(a) C(t)=5000,e^0,02,t
(b) C(1)=5000,e^0,02, \quad C(2)=5000,e^0,04
(c) i=e^0,02-1approx0,0202 (aprox. 2,02% ao mês).
(d) O coeficiente 0,02 é a taxa de juros contínuos mensais, isto é, o crescimento proporcional instantâneo do capital de 2% por mês.

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