Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
40. Ellipse, foci
, vertex
40. Ellipse, foci
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são
e
e que passa pelo vértice
. Vamos usar a forma canônica de uma elipse de eixo maior horizontal:
onde
é o centro,
o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor.
Passo 2
O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculando:
Logo o centro é
.
Passo 3
O parâmetro
é a distância do centro a cada foco e
é a distância do centro ao vértice dado. Assim:
Passo 4
Em uma elipse vale
. Então
logo
.
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na forma canônica, temos a equação buscada.