Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
40. Ellipse, foci (0,-1),(8,-1), vertex (9,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são (0,-1) e (8,-1) e que passa pelo vértice (9,-1). Vamos usar a forma canônica de uma elipse de eixo maior horizontal:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1,
onde (h,k) é o centro, a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculando:
h = 0+82 = 4, k = -1 + (-1)2 = -1
Logo o centro é (4,-1).

Passo 3

O parâmetro c é a distância do centro a cada foco e a é a distância do centro ao vértice dado. Assim:
c = |4 - 0| = 4, a = |9 - 4| = 5

Passo 4

Em uma elipse vale ,b^2 = a^2 - c^2. Então
b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9,
logo b = 3.

Passo 5

Substituindo h=4, k=-1, a^2=25 e b^2=9 na forma canônica, temos a equação buscada.

Resposta

(x-4)^225 + (y+1)^29 = 1

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