Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
39. Ellipse, foci (0,2),(0,6), vertices (0,0),(0,8)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são (0,2) e (0,6) e cujos vértices são (0,0) e (0,8). Para isso vamos usar a forma padrão da elipse com eixo maior vertical, o relacionamento
c^2 = a^2 - b^2
e as definições de centro, semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos vértices. Como os vértices são (0,0) e (0,8), o centro (h,k) é
(h,k) = l(0,0+82r) = (0,4)

Passo 3

O semi-eixo maior a é a distância do centro a um vértice. Daí
a = |0 - 4| = 4

Passo 4

O valor c é a distância do centro a um foco. Como um dos focos é (0,6),
c = |6 - 4| = 2

Passo 5

Usando a relação c^2 = a^2 - b^2, temos
b^2 = a^2 - c^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12

Passo 6

Para uma elipse com eixo maior vertical e centro em (0,4), a forma padrão é
(x-0)^2b^2 + (y-4)^2a^2 = 1
Substituindo a^2=16 e b^2=12, obtemos
x^212 + (y-4)^216 = 1

Resposta

x^212 + (y-4)^216 = 1

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