Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
integrale^infty 1x(ln x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
integrale^infty 1x(ln x)^3,dx
para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias do tipo logarítmico e cálculo de antiderivada via substituição.

Passo 2

Usamos o critério para integrais do tipo
integrala^infty1x(ln x)^p,dx
que afirma que ela converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=3>1, portanto
integrale^infty 1x(ln x)^3,dx
é convergente.

Passo 3

Para calcular o valor, façamos a substituição ;u=ln x, de modo que ,du=tfrac1x,dx. Assim
integrale^infty1x(ln x)^3,dx = integralu=1^utoinftyu^-3,du = integral1^inftyu^-3,du
A antiderivada de u^-3 é
integral u^-3,du = -tfrac12u^-2

Passo 4

Agora avaliamos entre u=1 (que corresponde a x=e) e utoinfty:
limUtoinftyl(-tfrac12U^-2r);-;l(-tfrac12cdot1^-2r) = 0 - l(-tfrac12r) = tfrac12

Resposta

A integral converge e vale 12.

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