Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias do tipo logarítmico e cálculo de antiderivada via substituição.
Passo 2
Usamos o critério para integrais do tipo
que afirma que ela converge se, e somente se,
. Aqui temos
, portanto
é convergente.
Passo 3
Para calcular o valor, façamos a substituição
, de modo que
. Assim
A antiderivada de
é
Passo 4
Agora avaliamos entre
(que corresponde a
) e
:
Resposta
A integral converge e vale
.