Em uma certa plantação, a produção,
, de feijão depende da quantidade,
, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por
. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizante em
, faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima.
Passo 1
O enunciado dá a produção de feijão
em função da quantidade de fertilizante
por
sendo
em kg e
em
. O conteúdo é função quadrática (parábola), então vamos:
. Identificar a concavidade e intercepto em
.
. Calcular as raízes para ver onde
.
. Determinar o vértice para achar a produção máxima.
. Esboçar e interpretar os pontos principais.
Passo 2
Como o coeficiente de
é
, a parábola tem concavidade para baixo (tem um máximo). O intercepto em
(produção sem fertilizante) é
Logo o ponto
está no gráfico.
Passo 3
Para achar as raízes, resolvemos
dividindo tudo por
:
Usando a fórmula de Bhaskara,
logo as raízes são
Fisicamente só vale
, então o corte significativo no eixo
é em
.
Passo 4
O vértice de uma parábola
está em
Substituindo em
:
Então o vértice é
, com produção máxima de
,kg.
Passo 5
Esboço qualitativo da parábola (concavidade para baixo):
- No
-eixo, ponto : produção sem fertilizante. - Vértice em
: ponto ótimo, máxima produção. - Corta o eixo
em : acima de ,g/m a produtividade cai a zero.
Interpretação: - Com
g/m já há kg de feijão. - Ao aumentar o fertilizante, a produção cresce até o ponto ótimo
. - Passando de
a planta não produz (excesso de fertilizante prejudica).
Resposta
A quantidade de fertilizante que maximiza a produção é
,g/m
, e a produção máxima é
,kg.