Em uma certa plantação, a produção, P, de feijão depende da quantidade, x, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P=-3 x^2+90 x+525. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizante em g / m^2, faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima.

Passo 1

O enunciado dá a produção de feijão P em função da quantidade de fertilizante x por
P(x) = -3x^2 + 90x + 525,
sendo P em kg e x em g/m^2. O conteúdo é função quadrática (parábola), então vamos:
1. Identificar a concavidade e intercepto em x=0.
2. Calcular as raízes para ver onde P=0.
3. Determinar o vértice para achar a produção máxima.
4. Esboçar e interpretar os pontos principais.

Passo 2

Como o coeficiente de x^2 é -3<0, a parábola tem concavidade para baixo (tem um máximo). O intercepto em x=0 (produção sem fertilizante) é
P(0) = -3cdot0^2 + 90cdot0 + 525 = 525
Logo o ponto (0,525) está no gráfico.

Passo 3

Para achar as raízes, resolvemos
-3x^2 + 90x + 525 = 0
dividindo tudo por -3:
x^2 - 30x - 175 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = 30 pm raiz(-30)^2 - 4cdot1cdot(-175)2 = 30 pm raiz900 + 7002 = 30 pm 402,
logo as raízes são
x1 = 35, x2 = -5
Fisicamente só vale x>=0, então o corte significativo no eixo x é em (35,0).

Passo 4

O vértice de uma parábola ax^2+bx+c está em
xv = -b2a = -902cdot(-3) = 15
Substituindo em P(x):
P(15) = -3cdot15^2 + 90cdot15 + 525 = -675 + 1350 + 525 = 1200
Então o vértice é (15,1200), com produção máxima de 1200,kg.

Passo 5

Esboço qualitativo da parábola (concavidade para baixo):
  • No y-eixo, ponto (0,525): produção sem fertilizante.
  • Vértice em (15,1200): ponto ótimo, máxima produção.
  • Corta o eixo x em (35,0): acima de 35,g/m ^2 a produtividade cai a zero.
    Interpretação:
  • Com x=0 g/m ^2 já há 525 kg de feijão.
  • Ao aumentar o fertilizante, a produção cresce até o ponto ótimo x=15.
  • Passando de 35 a planta não produz (excesso de fertilizante prejudica).

Resposta

A quantidade de fertilizante que maximiza a produção é 15,g/m ^2, e a produção máxima é 1200,kg.

Exercícios relacionados