Questão 1- Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas
y^prime prime-4 y=2 e^3 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y = 2e^3x
e pede a solução geral. O conteúdo é resolução de EDOs lineares não homogêneas usando a soma da solução geral da parte homogênea e de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral yh da parte homogênea
y'' - 4y = 0
Montamos a equação característica
r^2 - 4 = 0
cuja solução é r = 2 ou r = -2. Logo
yh = C1 e^2x + C2 e^-2x

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular yp para
y'' - 4y = 2e^3x
usando coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é e^3x e 3 não é raiz da característica, tentamos
yp = A e^3x
Calculamos
yp'' - 4yp = Acdot 9e^3x - 4A e^3x = 5A e^3x
que deve ser igual a 2e^3x. Assim
5A = 2 Longrightarrow A = 25
Logo
yp = 25e^3x

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-2x + 25e^3x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + 25e^3x

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