Uma certa população de peixes, cresce segundo a equação diferencial
d Pd t=0.5(1-P10000) P-c P
onde a constante c>0 esta relacionada com a taxa de pesca desta população.
(a) Determine, classifique e interprete os pontos de equilibrio da população de peixes.
(b) O produto entre c e P pode ser considerado como uma medida da eficiência da pesca sustentável. Qual é a taxa c que maximiza esta eficiencia no longo prazo? ( t infty )

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial que modela o crescimento logístico de uma população de peixes com pesca proporcional:
dPdt=0.5l(1-P10000r)P - cP
Aqui o parâmetro c>0 é a taxa de pesca. Vamos (a) achar e classificar os pontos de equilíbrio e (b) maximizar a pesca sustentável de longo prazo.

Passo 2

Para equilibrar, fazemos dPdt=0. Escrevendo
dPdt = Pl(0.5 - c - 0.510000,Pr)
vemos que os equilíbrios satisfazem
P=0 ou 0.5 - c - 0.510000,P=0
Da segunda igualdade vem
P^* = 10000,(0.5 - c)0.5 =10000 - 20000,c

Passo 3

Para classificar, lineares: seja F(P)=Pl((0.5-c)-tfrac0.510000Pr). Então
F'(P)=(0.5-c)-20.510000P
Em P=0:
F'(0)=0.5 - c,
que é positivo se c<0.5 (logo P=0 é instável) e negativo se c>0.5 (logo P=0 é atrator/extinção).
Em P=P^*:
F'(P^*)=(0.5-c)-20.510000(10000-20000c) =(0.5-c)-(1-2c)=c-0.5,
que é negativo sempre que c<0.5, o que torna P^*>0 um ponto de equilíbrio estável (atrator).

Passo 4

Interpretação:
  • Se c<0.5, há dois equilíbrios: P=0 (instável) e P^*=10000-20000c>0 (estável). A população converge para P^*.
  • Se c>=0.5, só sobra P=0 (estável), isto é, a pesca é tão intensa que leva à extinção.

Passo 5

A produtividade sustentável de longo prazo é
E(c)=c,P^*=c,(10000-20000c) =10000,c -20000,c^2
Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
E'(c)=10000 -40000,c=0 Longrightarrow c=tfrac1000040000=0,25

Resposta

(a) Os equilíbrios são
;P=0, instável quando c<0.5 e estável quando c>0.5;
;P^*=10000-20000c, que existe (é positivo) e é estável apenas para c<0.5.
(b) A taxa de pesca que maximiza a eficiência sustentável é
c=0,25

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