Uma certa população de peixes, cresce segundo a equação diferencial
onde a constante
esta relacionada com a taxa de pesca desta população.
(a) Determine, classifique e interprete os pontos de equilibrio da população de peixes.
(b) O produto entre
e
pode ser considerado como uma medida da eficiência da pesca sustentável. Qual é a taxa
que maximiza esta eficiencia no longo prazo? (
)
(a) Determine, classifique e interprete os pontos de equilibrio da população de peixes.
(b) O produto entre
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial que modela o crescimento logístico de uma população de peixes com pesca proporcional:
Aqui o parâmetro
é a taxa de pesca. Vamos (a) achar e classificar os pontos de equilíbrio e (b) maximizar a pesca sustentável de longo prazo.
Passo 2
Para equilibrar, fazemos
. Escrevendo
vemos que os equilíbrios satisfazem
Da segunda igualdade vem
Passo 3
Para classificar, lineares: seja
. Então
Em
:
que é positivo se
(logo
é instável) e negativo se
(logo
é atrator/extinção).
Em :
Em
que é negativo sempre que
, o que torna
um ponto de equilíbrio estável (atrator).
Passo 4
Interpretação:
- Se
, há dois equilíbrios: (instável) e (estável). A população converge para . - Se
, só sobra (estável), isto é, a pesca é tão intensa que leva à extinção.
Passo 5
A produtividade sustentável de longo prazo é
Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
Resposta
(a) Os equilíbrios são
, instável quando
e estável quando
;
, que existe (é positivo) e é estável apenas para
.
(b) A taxa de pesca que maximiza a eficiência sustentável é