- Em certa propriedade, o galinheiro está no ponto A , a plantação de laranja no ponto B e a plantação de milho encontra-se no ponto C. Sabendo que a distância do galinheiro à plantação de laranja é de 10 metros, a distância da plantação de laranja à plantação de milho corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas direções é de
. Qual é a distância do galinheiro à plantação de milho?
Passo 1
O enunciado dá um triângulo com três pontos: o galinheiro em
, a plantação de laranja em
e a plantação de milho em
. As informações fornecidas são:
- A distância do galinheiro à plantação de laranja é
metros. - A distância da plantação de laranja à plantação de milho é
metros. - O ângulo formado por essas direções (ou seja, o ângulo no ponto
entre as direções e ) é .
O que o problema pede:
- Determinar a distância do galinheiro à plantação de milho, isto é, encontrar
.
Passo 2
Como vamos relacionar os três lados de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, vamos usar a fórmula que dá o lado oposto ao ângulo em função dos dois lados adjacentes e do cosseno do ângulo. Essa fórmula é conhecida e pode ser entendida a partir de uma decomposição geométrica simples; aqui eu apresento a forma e explico o que cada símbolo significa.
Se denotarmos os lados de um triângulo por:
-
lado oposto ao ângulo , -
lado oposto ao ângulo , -
lado oposto ao ângulo ,
então, para o ângulo
a fórmula é
Interpretação das variáveis nesta fórmula:
-
é o comprimento do lado oposto ao ângulo ; -
e são os comprimentos dos lados que formam o ângulo ; -
é o cosseno do ângulo .
Breve justificativa (intuitiva) da fórmula: ao projetar um dos lados sobre a direção do outro e aplicar o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado, aparecem termos quadráticos dos lados e um termo com o produto dos dois lados multiplicado por
. Isso resulta na expressão acima.
Passo 3
Agora relacionamos a notação do enunciado com a fórmula:
- Queremos
. No padrão da fórmula, o lado oposto ao ângulo no vértice é exatamente . Logo . - Os dois lados que formam o ângulo
são e . Logo e . - O ângulo é
.
Portanto, aplicaremos
Passo 4
Substituindo os valores numéricos:
Passo 5
Calcule cada termo passo a passo:
Sabendo que
, obtemos
Logo
Passo 6
Extraia a raiz quadrada para obter
:
Se quiser um valor aproximado,
metros (usar vírgula como separador decimal).