1. Em certa propriedade, o galinheiro está no ponto A , a plantação de laranja no ponto B e a plantação de milho encontra-se no ponto C. Sabendo que a distância do galinheiro à plantação de laranja é de 10 metros, a distância da plantação de laranja à plantação de milho corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas direções é de 60^{\circ}. Qual é a distância do galinheiro à plantação de milho?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com três pontos: o galinheiro em A, a plantação de laranja em B e a plantação de milho em C. As informações fornecidas são:
  • A distância do galinheiro à plantação de laranja é AB=10 metros.
  • A distância da plantação de laranja à plantação de milho é BC=15 metros.
  • O ângulo formado por essas direções (ou seja, o ângulo no ponto B entre as direções BA e BC) é \angle ABC=60^\circ.
O que o problema pede:
  • Determinar a distância do galinheiro à plantação de milho, isto é, encontrar AC.

Passo 2

Como vamos relacionar os três lados de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, vamos usar a fórmula que dá o lado oposto ao ângulo em função dos dois lados adjacentes e do cosseno do ângulo. Essa fórmula é conhecida e pode ser entendida a partir de uma decomposição geométrica simples; aqui eu apresento a forma e explico o que cada símbolo significa.
Se denotarmos os lados de um triângulo por:
  • a lado oposto ao ângulo A,
  • b lado oposto ao ângulo B,
  • c lado oposto ao ângulo C,
então, para o ângulo B a fórmula é
b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos(B).
Interpretação das variáveis nesta fórmula:
  • b é o comprimento do lado oposto ao ângulo B;
  • a e c são os comprimentos dos lados que formam o ângulo B;
  • \cos(B) é o cosseno do ângulo B.
Breve justificativa (intuitiva) da fórmula: ao projetar um dos lados sobre a direção do outro e aplicar o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado, aparecem termos quadráticos dos lados e um termo com o produto dos dois lados multiplicado por \cos(B). Isso resulta na expressão acima.

Passo 3

Agora relacionamos a notação do enunciado com a fórmula:
  • Queremos AC. No padrão da fórmula, o lado oposto ao ângulo no vértice B é exatamente AC. Logo b=AC.
  • Os dois lados que formam o ângulo B são AB e BC. Logo a=AB=10 e c=BC=15.
  • O ângulo é B=\angle ABC=60^\circ.
Portanto, aplicaremos
AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\!\left(60^\circ\right).

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
AC^{2} = 10^{2} + 15^{2} - 2\cdot 10\cdot 15\cdot \cos\!\left(60^\circ\right).

Passo 5

Calcule cada termo passo a passo:
10^{2}=100,\qquad 15^{2}=225.
Sabendo que \cos\!\left(60^\circ\right)=\tfrac{1}{2}, obtemos
2\cdot 10\cdot 15\cdot \cos\!\left(60^\circ\right)=2\cdot 10\cdot 15\cdot \tfrac{1}{2}=10\cdot 15=150.
Logo
AC^{2}=100+225-150=175.

Passo 6

Extraia a raiz quadrada para obter AC:
AC=\sqrt{175}=\sqrt{25\cdot 7}=5\sqrt{7}.
Se quiser um valor aproximado, 5\sqrt{7}\approx 13{,}228 metros (usar vírgula como separador decimal).

Resposta

AC=5\sqrt{7}\\ \text{m}

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