- Qual é a expressão da altura
de um triângulo equilátero em função do lado
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a expressão da altura
de um triângulo equilátero em função do lado
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O triângulo é equilátero, portanto todos os lados têm comprimento
. - Quer-se a fórmula
, isto é, a altura expressa em termos de .
Não começamos a resolver aqui, apenas listamos o que foi pedido e o que sabemos.
Passo 2
Construção geométrica e identificação das grandezas.
Traça-se a altura do vértice superior até o lado oposto (a base). Numa figura:
Traça-se a altura do vértice superior até o lado oposto (a base). Numa figura:
- Essa altura é
(é o segmento perpendicular à base). - Em um triângulo equilátero a altura também é mediana e bissetriz, logo divide a base em duas partes iguais. Cada metade da base tem comprimento
.
Isso nos dá um triângulo retângulo com: - hipotenusa de comprimento
(um dos lados do triângulo equilátero), - catetos de comprimentos
e .
Passo 3
Aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado.
O Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui:
O Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui:
Explicando cada símbolo:
-
é a altura que queremos achar; -
é metade da base (um cateto); -
é a hipotenusa (um lado do triângulo equilátero).
Passo 4
Fazer as contas algébricas passo a passo. Primeiro calcular o quadrado de
:
Substituindo na equação do Pitágoras:
Isolando
:
Passo 5
Extrair
a partir de
. Tomando raiz quadrada em ambos os lados e escolhendo o sinal positivo (altura é positiva):
Pequena checagem numérica (exemplo): se
então
, o que faz sentido.