1. Qual é a expressão da altura h de um triângulo equilátero em função do lado I.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a expressão da altura h de um triângulo equilátero em função do lado I.
Informações dadas:
  • O triângulo é equilátero, portanto todos os lados têm comprimento I.
  • Quer-se a fórmula h=h(I), isto é, a altura expressa em termos de I.
    Não começamos a resolver aqui, apenas listamos o que foi pedido e o que sabemos.

Passo 2

Construção geométrica e identificação das grandezas.
Traça-se a altura do vértice superior até o lado oposto (a base). Numa figura:
  • Essa altura é h (é o segmento perpendicular à base).
  • Em um triângulo equilátero a altura também é mediana e bissetriz, logo divide a base em duas partes iguais. Cada metade da base tem comprimento \dfrac{I}{2}.
    Isso nos dá um triângulo retângulo com:
  • hipotenusa de comprimento \;I\; (um dos lados do triângulo equilátero),
  • catetos de comprimentos \;h\; e \;\dfrac{I}{2}\;.

Passo 3

Aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado.
O Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui:
h^2 + \left(\dfrac{I}{2}\right)^2 = I^2.
Explicando cada símbolo:
  • h é a altura que queremos achar;
  • \dfrac{I}{2} é metade da base (um cateto);
  • I é a hipotenusa (um lado do triângulo equilátero).

Passo 4

Fazer as contas algébricas passo a passo. Primeiro calcular o quadrado de \dfrac{I}{2}:
\left(\dfrac{I}{2}\right)^2 = \dfrac{I^2}{4}.
Substituindo na equação do Pitágoras:
h^2 + \dfrac{I^2}{4} = I^2.
Isolando h^2:
h^2 = I^2 - \dfrac{I^2}{4} = \dfrac{4I^2}{4} - \dfrac{I^2}{4} = \dfrac{3I^2}{4}.

Passo 5

Extrair h a partir de h^2. Tomando raiz quadrada em ambos os lados e escolhendo o sinal positivo (altura é positiva):
h = \sqrt{\dfrac{3I^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,I.
Pequena checagem numérica (exemplo): se I=2 então h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}\approx1{,}732, o que faz sentido.

Resposta

h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,I

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