1. Um técnico em agropecuária está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um experimento de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região, e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou o teodolito de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de 60^{\circ} para o ângulo ACB . Qual foi a largura do rio que ele encontrou?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede uma coisa só. Vou listar claramente tudo o que foi informado (peguei esses dados do enunciado):
  • Há um triângulo formado pelos pontos A (árvore na outra margem), B (estaca na margem onde o técnico está) e C (ponto marcado a 9 metros de B).
  • A distância entre B e C é BC=9\\ \text{m}. Então peguei o valor BC=9.
  • O teodolito foi fixado de modo que o ângulo em B seja reto, ou seja \angle B=90^\circ.
  • A medida do ângulo \angle ACB (ângulo no ponto C) foi 60^\circ. Ou seja \angle C=60^\circ.
  • O que o enunciado pede: determinar a largura do rio, isto é a distância entre as margens dada por AB. Em resumo, precisamos achar AB=?.

Passo 2

Determinar os ângulos restantes do triângulo. Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180^\circ. Como aqui \angle B=90^\circ e \angle C=60^\circ, o ângulo em A vale
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.
Portanto os ângulos do triângulo são 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ.

Passo 3

Explicar a propriedade útil: triângulo retângulo especial 30^\circ\text{-}60^\circ\text{-}90^\circ.
  • Em qualquer triângulo retângulo com ângulos 30^\circ,60^\circ,90^\circ, os comprimentos dos lados são proporcionais de forma padronizada. Se chamarmos de x o lado oposto ao ângulo de 30^\circ, então: \text{lado oposto a }30^\circ = x,\qquad \text{lado oposto a }60^\circ = x\sqrt{3},\qquad \text{hipotenusa (oposta a }90^\circ) = 2x.
  • Uma maneira rápida de entender isso é pensar num triângulo equilátero de lado 2x. Ao traçar a altura, obtém-se dois triângulos retângulos congruentes com catetos x e x\sqrt{3} e hipotenusa 2x. Não precisa decorar sem entendimento: o importante é essa relação entre os lados.

Passo 4

Relacionar os lados do nosso triângulo com essa propriedade. Nós já sabemos:
  • \angle A=30^\circ, então o lado oposto a 30^\circ é BC. Logo BC corresponde ao x do item anterior.
  • Como foi dado BC=9\\ \text{m}, concluímos que x=9.

Passo 5

Calcular AB. Pelo padrão do triângulo 30^\circ\text{-}60^\circ\text{-}90^\circ, o lado oposto a 60^\circ vale x\sqrt{3}. Aqui AB é o lado oposto ao ângulo em C, que é 60^\circ. Portanto
AB = x\sqrt{3}.
Substituindo x=9,
AB = 9\sqrt{3}\\ \text{m}.
Para ter uma ideia numérica usando \sqrt{3}\approx1,732, obtemos
AB \approx 9\cdot1,732 = 15{,}588\\ \text{m}\approx 15{,}59\\ \text{m}.

Resposta

AB = 9\sqrt{3}\\ \text{m} \approx 15{,}59\\ \text{m}

Exercícios relacionados