- Um técnico em agropecuária está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um experimento de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região, e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto
distante 9 metros de
, fixou o teodolito de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de
para o ângulo ACB . Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação e pede uma coisa só. Vou listar claramente tudo o que foi informado (peguei esses dados do enunciado):
- Há um triângulo formado pelos pontos
(árvore na outra margem), (estaca na margem onde o técnico está) e (ponto marcado a metros de ). - A distância entre
e é . Então peguei o valor . - O teodolito foi fixado de modo que o ângulo em
seja reto, ou seja . - A medida do ângulo
(ângulo no ponto ) foi . Ou seja . - O que o enunciado pede: determinar a largura do rio, isto é a distância entre as margens dada por
. Em resumo, precisamos achar .
Passo 2
Determinar os ângulos restantes do triângulo. Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é
. Como aqui
e
, o ângulo em
vale
Portanto os ângulos do triângulo são
,
e
.
Passo 3
Explicar a propriedade útil: triângulo retângulo especial
.
- Em qualquer triângulo retângulo com ângulos
, os comprimentos dos lados são proporcionais de forma padronizada. Se chamarmos de o lado oposto ao ângulo de , então: - Uma maneira rápida de entender isso é pensar num triângulo equilátero de lado
. Ao traçar a altura, obtém-se dois triângulos retângulos congruentes com catetos e e hipotenusa . Não precisa decorar sem entendimento: o importante é essa relação entre os lados.
Passo 4
Relacionar os lados do nosso triângulo com essa propriedade. Nós já sabemos:
-
, então o lado oposto a é . Logo corresponde ao do item anterior. - Como foi dado
, concluímos que .
Passo 5
Calcular
. Pelo padrão do triângulo
, o lado oposto a
vale
. Aqui
é o lado oposto ao ângulo em
, que é
. Portanto
Substituindo
,
Para ter uma ideia numérica usando
, obtemos