Uma certa quantidade de glicerina possui um volume de 1 \mathrm{~m}^{3} quando a pressão é de 120 kPa . Se a pressão for aumentada para 400 k P a, determine a variação do volume desse metro cúbico. O módulo volumétrico da glicerina é 4,52 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (escrevi os números exatamente como estão no enunciado):
  • Volume inicial: V=1\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão inicial: p_1=120\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão final: p_2=400\\ \mathrm{kPa}.
  • Módulo volumétrico (módulo de compressibilidade volumétrica / bulk modulus): K=4,52\\ \mathrm{GPa}.
O que a questão pede:
  • Determinar a variação do volume desse 1\\ \mathrm{m}^3 quando a pressão aumenta de p_1 para p_2. Ou seja, calcular \Delta V.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagar):
  • O módulo volumétrico K relaciona a variação de pressão com a variação relativa de volume. A definição é
K = -V\,\frac{\Delta p}{\Delta V},
onde
  • K é o módulo volumétrico (unidade de pressão),
  • V é o volume (aqui o volume instantâneo; para pequenas variações podemos usar o volume inicial),
  • \Delta p é a variação de pressão ( \Delta p=p_2-p_1),
  • \Delta V é a variação do volume ( \Delta V=V_2-V_1).
  • O sinal negativo aparece porque, normalmente, quando a pressão aumenta ( \Delta p>0) o volume diminui ( \Delta V<0).
  • Isolando \Delta V obtemos a fórmula prática que usaremos:
\Delta V = -\frac{V\,\Delta p}{K}.

Passo 3

Converter unidades e calcular \Delta p:
  • \Delta p = p_2-p_1 = 400\\ \mathrm{kPa}-120\\ \mathrm{kPa}=280\\ \mathrm{kPa}.
  • Em unidades SI (Pascals): \Delta p = 280\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 2{,}8\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter K para Pascal: K=4{,}52\\ \mathrm{GPa}=4{,}52\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Volume: V=1\\ \mathrm{m}^3 (já em SI).

Passo 4

Aplicar a fórmula e fazer a conta passo a passo:
\Delta V = -\frac{V\,\Delta p}{K} = -\frac{1\cdot\left(2{,}8\times10^{5}\right)}{4{,}52\times10^{9}}\\ \mathrm{m}^3.
Separando potências de dez:
\frac{2{,}8\times10^{5}}{4{,}52\times10^{9}}=\frac{2{,}8}{4{,}52}\times10^{-4}.
Agora a divisão numérica \dfrac{2{,}8}{4{,}52}: um cálculo aproximado por tentativa dá \dfrac{2{,}8}{4{,}52}\approx0{,}61947 (pois 4{,}52\times0{,}62\approx2{,}8024 e ajustando obtemos 0{,}61947). Assim
\frac{2{,}8}{4{,}52}\times10^{-4}\approx 0{,}61947\times10^{-4}=6{,}1947\times10^{-5}.
Portanto
\Delta V \approx -6{,}1947\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando de forma consistente (dados com 3 algarismos significativos no módulo K), fica razoável usar três dígitos significativos:
\Delta V \approx -6{,}19\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Interpretação e conversões úteis:
  • O sinal negativo indica que o volume diminuiu ao aumentar a pressão.
  • Em unidades mais intuitivas:
    • \Delta V \approx -6{,}19\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3 = -61{,}9\\ \mathrm{cm}^3 (porque 1\\ \mathrm{m}^3=10^{6}\\ \mathrm{cm}^3),
    • ou ainda \Delta V \approx -61{,}9\\ \mathrm{mL} (já que 1\\ \mathrm{mL}=1\\ \mathrm{cm}^3).
  • A variação relativa é muito pequena:
\frac{\Delta V}{V}\approx -6{,}19\times10^{-5}\quad\Rightarrow\quad\text{redução de }0{,}00619\%\\ \text{do volume}.çã

Resposta

\Delta V \approx -6{,}19\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3
\Delta V \approx -61{,}9\\ \mathrm{mL}

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