Uma certa quantidade de Ar , inicialmente a 1,7^{\circ} \mathrm{C} e 70 \% de umidade relativa é aquecida sem se alterar a sua umidade absoluta até atingir uma temperatura de bulbo seco igual a 40,6^{\circ} \mathrm{C}. Determine para o Estado final: a- A temperatura de bulbo úmido.
b - A temperatura de ponto de orvalho.
c - A umidade relativa.
\mathrm{d}- A quantidade de calor fornecida a cada kg de ar.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que vamos usar):
  • Ar inicialmente com temperatura de bulbo seco \,T_{1} = 1,7^\circ\mathrm{C}.
  • Umidade relativa inicial \,\varphi_{1} = 70\%.
  • O ar é aquecido mantendo-se constante a umidade absoluta (ou seja, constante a razão de mistura \,w).
  • Temperatura de bulbo seco final \,T_{2} = 40,6^\circ\mathrm{C}.
  • Pedidos para o estado final:
    a) temperatura de bulbo úmido; b) temperatura de ponto de orvalho; c) umidade relativa final; d) quantidade de calor fornecida por kg de ar seco.
  • Pressão total: não foi dada no enunciado. Vou assumir a pressão atmosférica padrão \,P = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} (1 atm). Se a prova usa outro valor de pressão, o procedimento é o mesmo, apenas troque P.
  • Constantes termodinâmicas que vamos usar (valores usualmente adotados em psicrometria):
    • Calor específico do ar seco: \,c_{pa} = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Calor específico do vapor de água: \,c_{pv} = 1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Calor latente de vaporização a 0^\circ\mathrm{C}: \,h_{fg} \approx 2501\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Fórmula prática para pressão de saturação (Magnus–Tetens), em kPa, com temperatura em ^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right).
  • Relação entre pressão parcial do vapor \,p_w e umidade relativa \varphi:
p_w=\varphi\;p_{ws}(T_{db}).
  • Razão de mistura (umidade absoluta) \,w em \mathrm{kg\;vapor/kg\;ar\;seco}:
w=0{,}622\,\frac{p_w}{P-p_w}.
  • Entalpia do ar úmido por kg de ar seco:
h = c_{pa}\,T_{db} + w\left(h_{fg} + c_{pv}\,T_{db}\right),
com T_{db} em ^\circ\mathrm{C} e h em \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.
  • Método para o bulbo úmido final: encontrar T_{wb} tal que a entalpia do estado final (ar úmido com T_{db}=40{,}6^\circ\mathrm{C} e w constante) seja igual à entalpia do ar saturado à temperatura T_{wb}:
c_{pa}\,T_{2} + w\left(h_{fg} + c_{pv}\,T_{2}\right) = c_{pa}\,T_{wb} + w_s(T_{wb})\left(h_{fg} + c_{pv}\,T_{wb}\right),
onde w_s(T) é a razão de mistura de saturção em T, obtida de p_{ws}(T) pela fórmula de w acima.

Passo 2

Calcular a pressão de saturação no estado inicial e a pressão parcial do vapor:
  • Primeiro, pressão de saturação a \,T_1=1{,}7^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(1{,}7)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 1{,}7}{1{,}7+237{,}3}\right).
Calcule o expoente:
\frac{17{,}27\cdot 1{,}7}{238{,}0}\approx 0{,}1233,
\exp(0{,}1233)\approx 1{,}1314.
Logo
p_{ws}(1{,}7)\approx 0{,}61078\cdot 1{,}1314 \approx 0{,}691\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão parcial do vapor no estado inicial (use \varphi_1=0{,}70):
p_w=\varphi_1\,p_{ws}(1{,}7)=0{,}70\cdot 0{,}691\approx 0{,}484\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calcular a razão de mistura w (umidade absoluta), que permanece constante no aquecimento:
w=0{,}622\frac{p_w}{P-p_w} =0{,}622\frac{0{,}484}{101{,}325-0{,}484}.
Calcule o denominador:
101{,}325-0{,}484=100{,}841\\ \mathrm{kPa}.
Agora
w\approx 0{,}622\cdot\frac{0{,}484}{100{,}841}\approx 0{,}00299\\ \mathrm{kg/kg\;ar\;seco}.
Observação prática: é comum expressar isto em g/kg: w\approx 2{,}99\\ \mathrm{g\;vapor/kg\;ar\;seco}.

Passo 4

Determinar a temperatura de ponto de orvalho ( T_{dp}):
  • O ponto de orvalho é a temperatura à qual o ar deve ser resfriado (à pressão constante) para que o vapor de água se sature — ou seja, p_{ws}(T_{dp})=p_w.
  • Invertendo a fórmula de Magnus, usamos:
\ln\!\left(\frac{p_w}{0{,}61078}\right)=\frac{17{,}27\,T_{dp}}{T_{dp}+237{,}3}.
Resolvendo para T_{dp}:
T_{dp}=\frac{237{,}3\;\ln\!\left(\dfrac{p_w}{0{,}61078}\right)}{17{,}27-\ln\!\left(\dfrac{p_w}{0{,}61078}\right)}.
  • Substituindo p_w=0{,}484\\ \mathrm{kPa}:
\ln\!\left(\frac{0{,}484}{0{,}61078}\right)=\ln(0{,}7926)\approx -0{,}2327.
T_{dp}=\frac{237{,}3\cdot(-0{,}2327)}{17{,}27-(-0{,}2327)}=\frac{-55{,}22}{17{,}5027}\approx -3{,}16^\circ\mathrm{C}.
Portanto, temperatura de ponto de orvalho: \,T_{dp}\approx -3{,}16^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Determinar a umidade relativa final ( \varphi_2) no estado com \,T_2=40{,}6^\circ\mathrm{C} mantendo p_w constante:
  • Calcular p_{ws}(40{,}6) pela fórmula de Magnus:
p_{ws}(40{,}6)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 40{,}6}{40{,}6+237{,}3}\right).
Calcule o expoente:
\frac{17{,}27\cdot 40{,}6}{277{,}9}\approx 2{,}520,
\exp(2{,}520)\approx 12{,}42,
p_{ws}(40{,}6)\approx 0{,}61078\cdot 12{,}42 \approx 7{,}58\\ \mathrm{kPa}.
  • Então a umidade relativa final é
\varphi_2=\frac{p_w}{p_{ws}(40{,}6)}=\frac{0{,}484}{7{,}58}\approx 0{,}0639=6{,}39\%.

Passo 6

Calcular a entalpia do estado final (por kg de ar seco):
  • Fórmula de entalpia do ar úmido:
h = c_{pa}\,T_{db} + w\left(h_{fg} + c_{pv}\,T_{db}\right).
  • Substituindo T_{db}=40{,}6^\circ\mathrm{C} e w=0{,}00299:
c_{pa}\,T_{2}=1{,}005\cdot 40{,}6\approx 40{,}803\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_{fg} + c_{pv}\,T_{2}=2501 + 1{,}86\cdot 40{,}6 \approx 2501 + 75{,}52 = 2576{,}52\\ \mathrm{kJ/kg}.
w\left(h_{fg} + c_{pv}\,T_{2}\right)\approx 0{,}00299\cdot 2576{,}52 \approx 7{,}689\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_{2}\approx 40{,}803 + 7{,}689 \approx 48{,}492\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.

Passo 7

Calcular a entalpia inicial e, em seguida, a quantidade de calor fornecida por kg de ar seco:
  • Entalpia inicial com T_1=1{,}7^\circ\mathrm{C} e mesmo w:
c_{pa}\,T_{1}=1{,}005\cdot 1{,}7\approx 1{,}709\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_{fg} + c_{pv}\,T_{1}=2501 + 1{,}86\cdot 1{,}7 \approx 2501 + 3{,}162 = 2504{,}162\\ \mathrm{kJ/kg}.
w\left(h_{fg} + c_{pv}\,T_{1}\right)\approx 0{,}00299\cdot 2504{,}162 \approx 7{,}477\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_{1}\approx 1{,}709 + 7{,}477 \approx 9{,}186\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.
  • Calor fornecido por kg de ar seco (variação de entalpia):
q = h_{2}-h_{1}\approx 48{,}492 - 9{,}186 \approx 39{,}306\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.
Arredondando: q\approx 39{,}31\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 8

Determinar a temperatura de bulbo úmido final ( T_{wb}) resolvendo a equação de equilíbrio de entalpia com ar saturado:
  • Igualamos a entalpia do estado final (já calculada) à entalpia de ar saturado a T_{wb}:
h_{2}=c_{pa}\,T_{wb} + w_s(T_{wb})\bigl(h_{fg} + c_{pv}\,T_{wb}\bigr),
onde w_s(T_{wb})=0{,}622\;\dfrac{p_{ws}(T_{wb})}{P-p_{ws}(T_{wb})}.
  • Esta equação é implícita em T_{wb}. Vou resolver numericamente por iterações (método simples: busca por tentativa e interpolação). Já sabemos h_{2}\approx 48{,}492\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Testes rápidos para localizar T_{wb}:
    • T_{wb}=16^\circ\mathrm{C}\Rightarrow h_s\approx 44{,}87\\ \mathrm{kJ/kg} (menor que h_2).
    • T_{wb}=18^\circ\mathrm{C}\Rightarrow h_s\approx 50{,}89\\ \mathrm{kJ/kg} (maior que h_2).
    • Logo T_{wb} está entre 16 e 18^\circ\mathrm{C}.
  • Refinando: para T_{wb}=17{,}22^\circ\mathrm{C} obtém-se h_s\approx 48{,}438\\ \mathrm{kJ/kg} (ligeiramente menor que 48{,}492).
  • Para T_{wb}=17{,}26^\circ\mathrm{C} obtém-se h_s\approx 48{,}562\\ \mathrm{kJ/kg} (ligeiramente maior que 48{,}492).
  • Interpolando linearmente entre estes dois pontos dá:
T_{wb}\approx 17{,}24^\circ\mathrm{C}.
(Explicação rápida: a entalpia do ar saturado cresce quase linearmente com T neste intervalo, por isso interpolação é apropriada para obter boa precisão de duas casas decimais.)
  • Portanto temperatura de bulbo úmido final: T_{wb}\approx 17{,}24^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) T_{wb}\approx 17{,}24^\circ\mathrm{C}
b) T_{dp}\approx -3{,}16^\circ\mathrm{C}
c) \varphi_{2}\approx 6{,}39\%
d) q\approx 39{,}31\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}

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