Uma certa quantidade de Ar inicialmente a 4,4^{\circ} \mathrm{C} e 30 \% de RH , é aquecida até 40,6^{\circ} \mathrm{C}, e umidificada de modo a que a sua umidade relativa se mantenha constante.
a- Determine a quantidade de calor fornecida por cada kg de Ar.
b-- Determine a quantidade de umidade fornecida por cada kg de Ar.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumido e claro):\n
  • Temperatura inicial do ar: T_1 = 4{,}4^\circ\mathrm{C}.\n
  • Umidade relativa inicial (e mantida): \mathrm{RH}=30\%=0{,}30.\n
  • Temperatura final do ar: T_2 = 40{,}6^\circ\mathrm{C}.\n
  • Pedidos:\n
    a) Quantidade de calor fornecida por cada \,1\\ \mathrm{kg} de ar seco (ou seja, por kg de ar seco).\n
    b) Quantidade de umidade (massa de água) fornecida por cada \,1\\ \mathrm{kg} de ar seco.\n
    Observação importante (hipótese necessária):\n
  • Vou assumir pressão atmosférica padrão P=101{,}325\\ \mathrm{kPa} porque o enunciado não dá pressão. Se sua prova usar outra pressão, é só trocar P pelos valores da sua prova.

Passo 2

Como vamos precisar da pressão de vapor de saturação da água em cada temperatura, uso a fórmula empírica de Tetens (boa para 0 a 50^\circ\mathrm{C}):\n
e_s(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa, com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\))}\n
Calculemos e_s em T_1 e T_2.\n
Para T_1=4{,}4^\circ\mathrm{C}:\n
\frac{17{,}27\cdot 4{,}4}{4{,}4+237{,}3}=0{,}3144\quad\Rightarrow\quad e_s(4{,}4)=0{,}61078\exp(0{,}3144)=0{,}8366\\ \mathrm{kPa}\n
Para T_2=40{,}6^\circ\mathrm{C}:\n
\frac{17{,}27\cdot 40{,}6}{40{,}6+237{,}3}=2{,}523\quad\Rightarrow\quad e_s(40{,}6)=0{,}61078\exp(2{,}523)=7{,}621\\ \mathrm{kPa}

Passo 3

A pressão parcial de vapor p_v em cada estado é a umidade relativa vezes a pressão de saturação:\n
p_{v1}=\mathrm{RH}\cdot e_s(T_1)=0{,}30\cdot 0{,}8366=0{,}2510\\ \mathrm{kPa}\n
p_{v2}=\mathrm{RH}\cdot e_s(T_2)=0{,}30\cdot 7{,}621=2{,}2863\\ \mathrm{kPa}

Passo 4

Agora calculamos a razão de mistura (umidade absoluta, ou razão de massa de vapor por kg de ar seco) w. A fórmula é:\n
w=0{,}622\frac{p_v}{P-p_v}\n
onde p_v é a pressão parcial do vapor (kPa), P é a pressão total (kPa) e 0{,}622 vem da razão das massas molares (M_v/M_a).\n
Calcule w_1 e w_2:\n
w_1=0{,}622\frac{0{,}2510}{101{,}325-0{,}2510}=0{,}001545\\ \mathrm{kg\\ de\\ H_2O/kg\\ de\\ ar\\ seco}\n
w_2=0{,}622\frac{2{,}2863}{101{,}325-2{,}2863}=0{,}01436\\ \mathrm{kg\\ de\\ H_2O/kg\\ de\\ ar\\ seco}

Passo 5

A quantidade de umidade fornecida por kg de ar seco é a variação \Delta w=w_2-w_1:\n
\Delta w = 0{,}01436-0{,}001545=0{,}01282\\ \mathrm{kg\\ de\\ H_2O/kg\\ de\\ ar\\ seco}\n
Em gramas por kg de ar seco: 0{,}01282\\ \mathrm{kg}=12{,}82\\ \mathrm{g}. (Ou seja, cerca de 12{,}8\\ \mathrm{g} de água adicionados por kg de ar seco.)

Passo 6

Para o calor fornecido precisamos da entalpia do ar úmido em cada estado. Usamos a fórmula comum (com T em ^\circ\mathrm{C}, entalpia em \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}):\n
h = c_{pa}\,T + w\left(2501 + c_{pv}\,T\right)\n
onde:\n
  • c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é o calor específico do ar seco,\n
  • c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é o calor específico do vapor d’água,\n
  • 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é a entalpia de vaporização aproximada à faixa considerada.\n
    Vamos calcular h_1 e h_2.\n
    Para T_1=4{,}4^\circ\mathrm{C} e w_1:\n
h_1=1{,}005\cdot 4{,}4 + 0{,}001545\left(2501 + 1{,}86\cdot 4{,}4\right)\n
Calcule os termos:\n
1{,}005\cdot 4{,}4 = 4{,}422\\ \mathrm{kJ/kg}\n
2501 + 1{,}86\cdot 4{,}4 = 2501 + 8{,}184 = 2509{,}184\\ \mathrm{kJ/kg}\n
0{,}001545\cdot 2509{,}184 = 3{,}8748\\ \mathrm{kJ/kg}\n
h_1 = 4{,}422 + 3{,}8748 = 8{,}2968\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ ar\\ seco}

Passo 7

Para T_2=40{,}6^\circ\mathrm{C} e w_2:\n
h_2=1{,}005\cdot 40{,}6 + 0{,}01436\left(2501 + 1{,}86\cdot 40{,}6\right)\n
Calcule os termos:\n
1{,}005\cdot 40{,}6 = 40{,}806\\ \mathrm{kJ/kg}\n
2501 + 1{,}86\cdot 40{,}6 = 2501 + 75{,}516 = 2576{,}516\\ \mathrm{kJ/kg}\n
0{,}01436\cdot 2576{,}516 = 36{,}999\\ \mathrm{kJ/kg}\n
h_2 = 40{,}806 + 36{,}999 = 77{,}805\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ ar\\ seco}

Passo 8

A quantidade de calor fornecida por kg de ar seco é a diferença de entalpias:\n
q = h_2 - h_1 = 77{,}805 - 8{,}2968 = 69{,}508\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ ar\\ seco}\n
Arredondando com sensatez (3 algarismos significativos): q\approx 69{,}5\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.\n
Recapitulando os resultados calculados:\n
  • Umidade adicionada por kg de ar seco: \Delta w = 0{,}01282\\ \mathrm{kg/kg} (≈ 12{,}82\\ \mathrm{g/kg}).\n
  • Calor fornecido por kg de ar seco: q\approx 69{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

q\approx 69{,}5\\ \mathrm{kJ\\ por\\ kg\\ de\\ ar\\ seco}\n
\Delta w=0{,}01282\\ \mathrm{kg\\ H_2O\\ por\\ kg\\ de\\ ar\\ seco}

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