Uma certa reação bioquímica tem uma energia de Gibbs padrão de -200 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} e uma segunda reação bioquímica tem uma energia de Gibbs padrão de -100 \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}. Qual é a razão entre as suas constantes de equilíbrio, 310 K .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Energia de Gibbs padrão da reação 1: \Delta G^\circ_1 = -200\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Energia de Gibbs padrão da reação 2: \Delta G^\circ_2 = -100\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Temperatura: T = 310\\ \mathrm{K}.
  • Pergunta: qual é a razão entre as constantes de equilíbrio, isto é, calcular \dfrac{K_1}{K_2}.

Passo 2

Fórmula que relaciona energia livre padrão e constante de equilíbrio (a fórmula fundamental que vamos usar).
  • Para qualquer reação em condições padrão vale
\Delta G^\circ = -R T \ln K,
onde:
  • \Delta G^\circ é a variação de energia livre padrão (em \mathrm{J/mol}),
  • R é a constante dos gases ideais (em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}),
  • K é a constante de equilíbrio (número adimensional),
  • \ln é o logaritmo natural (base e).
  • Desse resultado segue que
K = \exp\!\left(-\dfrac{\Delta G^\circ}{R T}\right).
  • Portanto a razão das constantes é
\frac{K_1}{K_2}=\frac{\exp\!\left(-\dfrac{\Delta G^\circ_1}{R T}\right)}{\exp\!\left(-\dfrac{\Delta G^\circ_2}{R T}\right)} =\exp\!\left(-\dfrac{\Delta G^\circ_1-\Delta G^\circ_2}{R T}\right).
Isso é importante: diferenças em \Delta G^\circ se traduzem exponencialmente nas razões de K. Por isso pequenas diferenças em energia podem gerar enormes diferenças em K.

Passo 3

Converter unidades e calcular a diferença \Delta G^\circ_1-\Delta G^\circ_2.
  • Converter as energias de \mathrm{kJ/mol} para \mathrm{J/mol} (multiplicar por 1000):
\Delta G^\circ_1 = -200\\ \mathrm{kJ/mol} = -200{,}000\\ \mathrm{J/mol},
\Delta G^\circ_2 = -100\\ \mathrm{kJ/mol} = -100{,}000\\ \mathrm{J/mol}.
  • Diferença:
\Delta G^\circ_1-\Delta G^\circ_2 = -200{,}000 - (-100{,}000) = -100{,}000\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Substituir na expressão da razão e calcular o denominador R T.
  • Vamos usar R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (valor padrão).
  • Calcular R T:
R T = 8{,}314462618 \times 310 = 2{,}577{,}483\\ \mathrm{J/mol}.
(Arredondei ligeiramente para facilitar contas; o valor é aproximadamente 2{,}577{,}483\\ \mathrm{J/mol}.)

Passo 5

Calcular o expoente e a razão \dfrac{K_1}{K_2}.
  • O expoente é
-\dfrac{\Delta G^\circ_1-\Delta G^\circ_2}{R T} = -\dfrac{-100{,}000}{2{,}577{,}483} = \dfrac{100{,}000}{2{,}577{,}483}\approx 38{,}799.
  • Então
\frac{K_1}{K_2} = \exp(38{,}799)\approx 7{,}07\times10^{16}.
Interpretação curta e amigável: a reação 1 (com \Delta G^\circ=-200\\ \mathrm{kJ/mol}) tem uma constante de equilíbrio aproximadamente 7{,}07\times10^{16} vezes maior que a reação 2 — ou seja, muito mais deslocada para os produtos. Pequenas diferenças de energia livre padrão geram diferenças gigantescas nas constantes por causa do fator exponencial.

Resposta

\dfrac{K_1}{K_2}\approx 7{,}07\times10^{16}

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