A taxa de depreciação dV / dt de determinada máquina é inversamente proporcional ao quadrado de t+1, onde V é o valor, em reais, da máquina
anos depois de ter sido comprada. Se a máquina foi comprada por R$500.000,00 e seu valor decresceu R$ 100.000,00 no primeiro ano, qual o valor estimado da máquina após 4 anos?
a)
350.000,00$
b)
340.000,00$
c)
260.000,00$
d)
250.000,00$
e) R$ 140.000,00
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o valor da máquina após 4 anos.
- Informação: a taxa de depreciação
é inversamente proporcional ao quadrado de . - Informação:
é o valor (em reais) da máquina anos depois da compra. - Informação: a máquina foi comprada por ), ou seja, ).
- Informação: o valor decresceu
) no primeiro ano, ou seja,
=
). - Pergunta: qual é o valor estimado da máquina após 4 anos, isto é, calcular
.
Passo 2
Vamos traduzir a proporcionalidade para uma equação diferencial. "Inversamente proporcional ao quadrado de
" significa que existe uma constante positiva
tal que
Explicação didática: aqui usei sinal negativo porque a máquina se deprecia (o valor diminui), então
é negativo. A constante
mede a intensidade da depreciação. As variáveis são:
em anos e
em reais.
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial integrando. Escrevemos
Integrando ambos os lados em relação a
,
O lado esquerdo dá
(constante de integração). No lado direito usamos a antiderivada de
, que é
. Então
onde
é uma constante (absorvemos constantes). Simplificando,
Comentário: essa forma faz sentido pois sua derivada é
, como exigido.
Passo 4
Usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Da condição
) temos
Passo 5
Da condição
) (já que caiu
no primeiro ano) temos
Subtraindo a equação de
da equação de
obtemos
Isso dá
Logo
Substituindo
em
) obtemos
Passo 6
Agora temos a expressão completa do valor ao longo do tempo:
Queremos
, portanto
Calcule
}{5}=
). Então
Resposta
b)