A taxa de depreciação dV / dt de determinada máquina é inversamente proporcional ao quadrado de t+1, onde V é o valor, em reais, da máquina t anos depois de ter sido comprada. Se a máquina foi comprada por R$500.000,00 e seu valor decresceu R$ 100.000,00 no primeiro ano, qual o valor estimado da máquina após 4 anos?
\bigcirc a) R \ 350.000,00$
\bigcirc b) R \ 340.000,00$
\bigcirc c) R \ 260.000,00$
\bigcirc d) R \ 250.000,00$
\bigcirc e) R$ 140.000,00

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o valor da máquina após 4 anos.
  • Informação: a taxa de depreciação \dfrac{dV}{dt} é inversamente proporcional ao quadrado de (t+1).
  • Informação: V é o valor (em reais) da máquina t anos depois da compra.
  • Informação: a máquina foi comprada por \(R\$500.000,00), ou seja, V(0)=\(R\$ 500.000,00).
  • Informação: o valor decresceu \(R\$100.000,00) no primeiro ano, ou seja, V(1)=V(0)-\(R\$ 100.000,00= R\$ 400.000,00).
  • Pergunta: qual é o valor estimado da máquina após 4 anos, isto é, calcular V(4).

Passo 2

Vamos traduzir a proporcionalidade para uma equação diferencial. "Inversamente proporcional ao quadrado de (t+1)" significa que existe uma constante positiva a tal que
\frac{dV}{dt}=-\frac{a}{(t+1)^2}.
Explicação didática: aqui usei sinal negativo porque a máquina se deprecia (o valor diminui), então \dfrac{dV}{dt} é negativo. A constante a>0 mede a intensidade da depreciação. As variáveis são: t em anos e V(t) em reais.

Passo 3

Agora resolvemos a equação diferencial integrando. Escrevemos
dV=-\frac{a}{(t+1)^2}\,dt.
Integrando ambos os lados em relação a t,
\int dV=\int -\frac{a}{(t+1)^2}\,dt.
O lado esquerdo dá V(t)+C_1 (constante de integração). No lado direito usamos a antiderivada de (t+1)^{-2}, que é - (t+1)^{-1}. Então
V(t)= -a\left(-\frac{1}{t+1}\right)+C,
onde C é uma constante (absorvemos constantes). Simplificando,
V(t)=C+\frac{a}{t+1}.
Comentário: essa forma faz sentido pois sua derivada é -a/(t+1)^2, como exigido.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para encontrar a e C.
Da condição V(0)=\(R\$ 500.000,00) temos
V(0)=C+\frac{a}{0+1}=C+a=\(R\$ 500.000,00\).

Passo 5

Da condição V(1)=\(R\$400.000,00) (já que caiu R\$ 100.000,00 no primeiro ano) temos
V(1)=C+\frac{a}{1+1}=C+\frac{a}{2}=\(R\$ 400.000,00\).
Subtraindo a equação de V(1) da equação de V(0) obtemos
(C+a)-(C+\tfrac{a}{2})= \(R\$500.000,00\) - \(R\$ 400.000,00\).
Isso dá
\frac{a}{2}=\(R\$ 100.000,00\).
Logo
a=\(R\$ 200.000,00\).
Substituindo a em C+a=\(R\$ 500.000,00) obtemos
C=\(R\$500.000,00\)-\(R\$ 200.000,00\)=\(R\$ 300.000,00\).

Passo 6

Agora temos a expressão completa do valor ao longo do tempo:
V(t)=\(R\$300.000,00\)+\frac{\(R\$ 200.000,00\)}{t+1}.
Queremos V(4), portanto
V(4)=\(R\$300.000,00\)+\frac{\(R\$ 200.000,00\)}{4+1}=\(R\$300.000,00\)+\frac{\(R\$ 200.000,00\)}{5}.
Calcule \dfrac{\(R\$200.000,00}{5}= R\$ 40.000,00). Então
V(4)=\(R\$300.000,00\)+\(R\$ 40.000,00\)=\(R\$ 340.000,00\).

Resposta

b) R\$ 340.000,00

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