Em certa região, o campo elétrico é dado por \mathbf{D}=2 \rho(z+1) \cos \varphi \mathbf{a}_{\rho}+\rho(z+1) \sin \varphi \mathbf{a}_{\varphi}+\rho^{2} \cos \varphi \mathbf{a}_{z} \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. (a) Encontre a densidade de carga; (b) Calcule a carga total encerrada no volume 0<\rho<2 \mathrm{~m}, 0<\varphi<\pi / 2 e 0<z<4; (c) Confirme a lei de Gauss, determinando o fluxo líquido através da superfície que limita o volume dado no item (b).

Passo 1

O enunciado dá o campo \mathbf{D} em coordenadas cilíndricas e pede três coisas:
  • (a) encontrar a densidade volumétrica de carga (densidade livre) dentro da região;
  • (b) calcular a carga total contida no volume 0<\rho<2\\ \mathrm{m},\;0<\varphi<\pi/2,\;0<z<4;
  • (c) confirmar a lei de Gauss calculando o fluxo líquido de \mathbf{D} através da superfície que limita esse volume.
Informações fornecidas (pegas diretamente do enunciado):
  • O campo \mathbf{D} é
\mathbf{D}=2\,\rho\,(z+1)\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\rho}+\rho\,(z+1)\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}+\rho^{2}\cos\varphi\,\mathbf{a}_{z}\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
  • O volume de integração é o cilindro-setor definido por
0<\rho<2,\qquad 0<\varphi<\tfrac{\pi}{2},\qquad 0<z<4.
O que será feito:
  • Para (a) usar a relação local \rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D} (densidade volumétrica igual à divergência de \mathbf{D});
  • Para (b) integrar \rho_v sobre o volume dado usando elementos em coordenadas cilíndricas;
  • Para (c) calcular o fluxo de \mathbf{D} em cada face do contorno (superfície lateral \rho=2, faces z=0 e z=4, e planos \varphi=0 e \varphi=\pi/2), somar e comparar com o resultado de (b).

Passo 2

Lembrete e fórmula útil (aula rápida sobre divergência em cilíndricas).
  • Em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) a divergência de um campo \mathbf{D}=D_{\rho}\mathbf{a}_{\rho}+D_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+D_{z}\mathbf{a}_{z} é
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho D_{\rho}\big)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}.
  • Aqui cada termo tem interpretação física: o primeiro é a variação radial ajustada pelo fator geométrico 1/\rho, o segundo é a variação ao longo do ângulo (dividida por \rho) e o terceiro é a variação ao longo de z.
  • Vou aplicar essa fórmula diretamente aos componentes dados. Sempre tome cuidado para distinguir a densidade volumétrica \rho_v (com subíndice) da coordenada radial \rho.

Passo 3

Cálculo da divergência \rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D} passo a passo.
  • Identifico os componentes (retirados do enunciado):
D_{\rho}=2\,\rho\,(z+1)\cos\varphi,\qquad D_{\varphi}=\rho\,(z+1)\sin\varphi,\qquad D_{z}=\rho^{2}\cos\varphi.
  • Calculo o primeiro termo \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho D_{\rho}\big):
\rho D_{\rho}=\rho\cdot\big(2\rho (z+1)\cos\varphi\big)=2\rho^{2}(z+1)\cos\varphi,
\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho D_{\rho}\big)=\frac{\partial}{\partial\rho}\big(2\rho^{2}(z+1)\cos\varphi\big) =4\rho (z+1)\cos\varphi,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho D_{\rho}\big)=4 (z+1)\cos\varphi.
  • Calculo o segundo termo \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}:
\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(\rho (z+1)\sin\varphi\big)=\rho (z+1)\cos\varphi,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}=(z+1)\cos\varphi.
  • Calculo o terceiro termo \dfrac{\partial D_{z}}{\partial z}:
D_{z}=\rho^{2}\cos\varphi\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial D_{z}}{\partial z}=0\quad\text{(não depende de \(z\)).}ã
  • Somando os termos:
\rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D}=4(z+1)\cos\varphi+(z+1)\cos\varphi+0=5(z+1)\cos\varphi\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
Observação sobre unidades: como \mathbf{D} estava em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}, a divergência tem unidades \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Cálculo da carga total no volume: Q_{\text{enc}}=\iiint_{V}\rho_v\,dV.
  • Em coordenadas cilíndricas dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz. Assim
Q_{\text{enc}}=\int_{z=0}^{4}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2} 5(z+1)\cos\varphi\;\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
  • As variáveis separam-se porque \rho_v não depende da coordenada radial \rho exceto pelo fator \rho do volume. Faço integrais em ordem conveniente:
    1. Integral em \rho:
    \int_{0}^{2}\rho\,d\rho=\left.\frac{\rho^{2}}{2}\right|_{0}^{2}=2.
    1. Integral em \varphi:
    \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi=\left.\sin\varphi\right|_{0}^{\pi/2}=1.
    1. Integral em z:
    \int_{0}^{4}5(z+1)\,dz=5\left[\frac{z^{2}}{2}+z\right]_{0}^{4}=5\left(\frac{16}{2}+4\right)=5\cdot 12=60.
  • Multiplicando os resultados:
Q_{\text{enc}}=2\cdot 1\cdot 60=120\\ \mu\mathrm{C}.
Se preferir em coulombs: Q_{\text{enc}}=120\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o fluxo de \mathbf{D} através de cada face do contorno e somar — atenção especial aos elementos de área e às direções normais (aula rápida sobre elementos de superfície em cilíndricas).
  • O contorno tem cinco partes (duas faces planas em z, uma superfície lateral em \rho=2 e duas superfícies planas em \varphi=0 e \varphi=\pi/2).
  • Regras para elementos de área e vetores normais:
    • Superfície lateral \rho=2: vetor normal exterior \mathbf{n}=\mathbf{a}_{\rho}. Elemento de área \,dS=\rho\,d\varphi\,dz com \rho=2.
    • Faces planas z=const: normal \pm\mathbf{a}_z. Elemento de área dS=\rho\,d\rho\,d\varphi.
    • Planos \varphi=const: são planos radiais planos (meio-plano). O vetor normal é \pm\mathbf{a}_{\varphi}. Para estas superfícies o elemento de área é dS=d\rho\,dz (não há fator \rho aqui — este é um ponto que dá problema se não for bem lembrado: num plano \varphi=const a coordenada que mede a distância lateral é \rho, então o jacobiano é 1).
Vou calcular cada contribuição:
  1. Fluxo na superfície lateral \rho=2 (outward \mathbf{a}_{\rho}):
\Phi_{\rho=2}=\int_{z=0}^{4}\int_{\varphi=0}^{\pi/2} D_{\rho}(\rho=2,\varphi,z)\;(\rho\,d\varphi\,dz)\quad\text{com }\rho=2.
Avalio D_{\rho}(2,\varphi,z)=2\cdot 2\,(z+1)\cos\varphi=4(z+1)\cos\varphi. Logo
\Phi_{\rho=2}=\int_{0}^{4}\int_{0}^{\pi/2} 4(z+1)\cos\varphi\cdot 2\,d\varphi\,dz =\int_{0}^{4}\int_{0}^{\pi/2}8(z+1)\cos\varphi\,d\varphi\,dz.
Integro em \varphi e depois em z:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi=1,\qquad \int_{0}^{4}8(z+1)\,dz=8\cdot 12=96.
Portanto \Phi_{\rho=2}=96\\ \mu\mathrm{C}.
  1. Fluxo na face superior z=4 (outward \mathbf{a}_{z}):
\Phi_{z=4}=\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2} D_{z}(\rho,\varphi,z=4)\;\rho\,d\rho\,d\varphi.
Mas D_{z}=\rho^{2}\cos\varphi independe de z, então
\Phi_{z=4}=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} \rho^{2}\cos\varphi\cdot\rho\,d\rho\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{3}d\rho.
Calculos: \int_{0}^{2}\rho^{3}d\rho=\frac{2^{4}}{4}=4, \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi=1. Assim
\Phi_{z=4}=4\\ \mu\mathrm{C}.
  1. Fluxo na face inferior z=0 (outward -\mathbf{a}_{z}):
\Phi_{z=0}=\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2} \mathbf{D}\cdot(-\mathbf{a}_{z})\,dS = -\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} D_{z}\,\rho\,d\rho\,d\varphi = -4\\ \mu\mathrm{C}.
(igual em magnitude à face superior, mas com sinal oposto, porque D_{z} independe de z.)
  1. Fluxo pela face em \varphi=0 (outward normal é -\mathbf{a}_{\varphi}; porém D_{\varphi}(\varphi=0)=\rho(z+1)\sin 0=0):
  • Elemento de área nesta face: dS=d\rho\,dz.
  • Portanto \Phi_{\varphi=0}= -\int_{0}^{2}\int_{0}^{4} D_{\varphi}(\rho,0,z)\,d\rho\,dz =0.
  1. Fluxo pela face em \varphi=\pi/2 (outward normal é +\mathbf{a}_{\varphi}):
  • Aqui D_{\varphi}(\rho,\pi/2,z)=\rho (z+1)\sin(\pi/2)=\rho (z+1).
  • Elemento de área para plano \varphi=const é dS=d\rho\,dz (sem fator \rho).
\Phi_{\varphi=\pi/2}=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4} D_{\varphi}(\rho,\pi/2,z)\;d\rho\,dz =\int_{0}^{4}\int_{0}^{2}\rho (z+1)\;d\rho\,dz.
Faço as integrais:
\int_{0}^{2}\rho\,d\rho=2,\qquad \int_{0}^{4}(z+1)\,dz=12,
logo
\Phi_{\varphi=\pi/2}=2\cdot 12=24\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 6

Somando todas as contribuições de fluxo:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{\rho=2}+\Phi_{z=4}+\Phi_{z=0}+\Phi_{\varphi=0}+\Phi_{\varphi=\pi/2}=96+4-4+0+24=120\\ \mu\mathrm{C}.
Isso coincide exatamente com a carga Q_{\text{enc}}=120\\ \mu\mathrm{C} obtida no Passo 4. Conclusão: a lei de Gauss para \mathbf{D},
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}},
está confirmada.

Resposta

(a) \rho_v(\rho,\varphi,z)=5(z+1)\cos\varphi\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
(b) Q_{\text{enc}}=120\\ \mu\mathrm{C}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
(c) Fluxo líquido \displaystyle \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=120\\ \mu\mathrm{C}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

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