Em certa região, o campo elétrico é dado por \mathbf{D}=2 \rho(z+1) \cos \varphi \mathbf{a}_{\rho}+\rho(z+1) \sin \varphi \mathbf{a}_{\varphi}+\rho^{2} \cos \varphi \mathbf{a}_{z} \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. (a) Encontre a densidade de carga; (b) Calcule a carga total encerrada no volume 0<\rho<2 \mathrm{~m}, 0<\varphi<\pi / 2 e 0<z<4; (c) Confirme a lei de Gauss, determinando o fluxo líquido através da superfície que limita o volume dado no item (b).
Passo 1
O enunciado dá o campo \mathbf{D} em coordenadas cilíndricas e pede três coisas:
(a) encontrar a densidade volumétrica de carga (densidade livre) dentro da região;
(b) calcular a carga total contida no volume 0<\rho<2\\ \mathrm{m},\;0<\varphi<\pi/2,\;0<z<4;
(c) confirmar a lei de Gauss calculando o fluxo líquido de \mathbf{D} através da superfície que limita esse volume.
Informações fornecidas (pegas diretamente do enunciado):
Para (a) usar a relação local \rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D} (densidade volumétrica igual à divergência de \mathbf{D});
Para (b) integrar \rho_v sobre o volume dado usando elementos em coordenadas cilíndricas;
Para (c) calcular o fluxo de \mathbf{D} em cada face do contorno (superfície lateral \rho=2, faces z=0 e z=4, e planos \varphi=0 e \varphi=\pi/2), somar e comparar com o resultado de (b).
Passo 2
Lembrete e fórmula útil (aula rápida sobre divergência em cilíndricas).
Em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) a divergência de um campo \mathbf{D}=D_{\rho}\mathbf{a}_{\rho}+D_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+D_{z}\mathbf{a}_{z} é
Aqui cada termo tem interpretação física: o primeiro é a variação radial ajustada pelo fator geométrico 1/\rho, o segundo é a variação ao longo do ângulo (dividida por \rho) e o terceiro é a variação ao longo de z.
Vou aplicar essa fórmula diretamente aos componentes dados. Sempre tome cuidado para distinguir a densidade volumétrica \rho_v (com subíndice) da coordenada radial \rho.
Passo 3
Cálculo da divergência \rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D} passo a passo.
Identifico os componentes (retirados do enunciado):
Se preferir em coulombs: Q_{\text{enc}}=120\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Passo 5
Calcular o fluxo de \mathbf{D} através de cada face do contorno e somar — atenção especial aos elementos de área e às direções normais (aula rápida sobre elementos de superfície em cilíndricas).
O contorno tem cinco partes (duas faces planas em z, uma superfície lateral em \rho=2 e duas superfícies planas em \varphi=0 e \varphi=\pi/2).
Regras para elementos de área e vetores normais:
Superfície lateral \rho=2: vetor normal exterior \mathbf{n}=\mathbf{a}_{\rho}. Elemento de área \,dS=\rho\,d\varphi\,dz com \rho=2.
Faces planas z=const: normal \pm\mathbf{a}_z. Elemento de área dS=\rho\,d\rho\,d\varphi.
Planos \varphi=const: são planos radiais planos (meio-plano). O vetor normal é \pm\mathbf{a}_{\varphi}. Para estas superfícies o elemento de área é dS=d\rho\,dz (não há fator \rho aqui — este é um ponto que dá problema se não for bem lembrado: num plano \varphi=const a coordenada que mede a distância lateral é \rho, então o jacobiano é 1).
Vou calcular cada contribuição:
Fluxo na superfície lateral \rho=2 (outward \mathbf{a}_{\rho}):