No espaço livre, \mathbf{D}=2 y^{2} \mathbf{a}_{x}+4 y x \mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z} \mathrm{mC} / \mathrm{m}^{2}. Determine a carga total armazenada na região 1<x<2 \mathrm{~m}, 1<y<2 \mathrm{me}-1<z<4 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede a carga total armazenada na região reta no espaço com limites (vou listar os limites que entendi do enunciado, há um pequeno typo no trecho de z; vou interpretar como -1<z<4\\ \mathrm{m}):
  • Campo de deslocamento elétrico: \mathbf{D}=2 y^{2}\,\mathbf{a}_{x}+4 y x\,\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z} (unidades: \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{2}).
  • Região de integração (volume): 1<x<2\\ \mathrm{m}, 1<y<2\\ \mathrm{m}, -1<z<4\\ \mathrm{m}.
    A pergunta é: qual a carga total contida nesse volume?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma):
  • Em eletrostática, o campo deslocamento \mathbf{D} satisfaz a forma diferencial da Lei de Gauss para cargas livres:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}},
onde \rho_{\text{livre}} é a densidade volumétrica de carga livre (unidade aqui: \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{3} porque \mathbf{D} está em \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{2}).
  • A carga total livre Q dentro de um volume V é
Q=\int_{V}\rho_{\text{livre}}\,\mathrm{d}V=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{D}\,\mathrm{d}V.
Então basta calcular \nabla\cdot\mathbf{D} e integrar sobre o volume dado.

Passo 3

Calcular a divergência componente a componente. Para \mathbf{D}=(D_x,D_y,D_z) com
D_x=2 y^{2},\qquad D_y=4 y x,\qquad D_z=-1,
a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Agora as derivadas parciais:
\frac{\partial D_x}{\partial x}=\frac{\partial (2 y^{2})}{\partial x}=0,
\frac{\partial D_y}{\partial y}=\frac{\partial (4 y x)}{\partial y}=4x,
\frac{\partial D_z}{\partial z}=\frac{\partial (-1)}{\partial z}=0.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{D}=4x.

Passo 4

Montar a integral da carga total usando \rho_{\text{livre}}=\nabla\cdot\mathbf{D}=4x:
Q=\int_{x=1}^{2}\int_{y=1}^{2}\int_{z=-1}^{4} 4x\; \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.
Observação prática: o integrando 4x não depende de y nem de z, logo os integrais em y e z reduzem a multiplicar pelos comprimentos dos intervalos.

Passo 5

Calcular os comprimentos dos intervalos:
  • para y: de 1 a 2 o comprimento é 2-1=1\\ \mathrm{m},
  • para z: de -1 a 4 o comprimento é 4-(-1)=5\\ \mathrm{m}.
Portanto
Q=\left(\int_{x=1}^{2}4x\,\mathrm{d}x\right)\cdot(1)\cdot(5).

Passo 6

Calcular a integral em x:
\int_{x=1}^{2}4x\,\mathrm{d}x = \left.2x^{2}\right|_{1}^{2}=2(2^{2})-2(1^{2})=2(4)-2(1)=8-2=6.
Logo
Q=6\cdot 1\cdot 5=30,
mas atenção às unidades: como \mathbf{D} estava em \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{2}, a divergência tem unidade \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{3} e a integral dá 30\\ \mathrm{mC}.

Passo 7

Converter para coulombs no sistema SI mais usual:
30\\ \mathrm{mC}=30\times10^{-3}\\ \mathrm{C}=0,03\\ \mathrm{C}.

Resposta

Q=30\\ \mathrm{mC}=0,03\\ \mathrm{C}

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