No espaço livre, \mathbf{D}=2 y^{2} \mathbf{a}_{x}+4 y x \mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z} \mathrm{mC} / \mathrm{m}^{2}. Determine a carga total armazenada na região 1<x<2 \mathrm{~m}, 1<y<2 \mathrm{me}-1<z<4 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado pede a carga total armazenada na região reta no espaço com limites (vou listar os limites que entendi do enunciado, há um pequeno typo no trecho de z; vou interpretar como -1<z<4\\ \mathrm{m}):
Campo de deslocamento elétrico: \mathbf{D}=2 y^{2}\,\mathbf{a}_{x}+4 y x\,\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z} (unidades: \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{2}).
Região de integração (volume): 1<x<2\\ \mathrm{m}, 1<y<2\\ \mathrm{m}, -1<z<4\\ \mathrm{m}.
A pergunta é: qual a carga total contida nesse volume?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma):
Em eletrostática, o campo deslocamento \mathbf{D} satisfaz a forma diferencial da Lei de Gauss para cargas livres:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}},
onde \rho_{\text{livre}} é a densidade volumétrica de carga livre (unidade aqui: \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{3} porque \mathbf{D} está em \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{2}).
mas atenção às unidades: como \mathbf{D} estava em \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{2}, a divergência tem unidade \mathrm{mC}/\mathrm{m}^{3} e a integral dá 30\\ \mathrm{mC}.