Em uma certa região condutora, o campo magnético é dado em coordenadas cilíndricas por
. Determine a densidade de corrente
.
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético em coordenadas cilíndricas e pede a densidade de corrente. Dados fornecidos:
Pergunta: determinar
(densidade de corrente) nessa região condutora.
Passo 2
Qual equação relaciona
e
? Vou explicar de forma direta e intuitiva. A equação de Maxwell-Ampère completa é
Aqui supomos regime estacionário (campo dado sem dependência temporal explícita), ou seja, não há contribuição de deslocamento (
). Logo, para este problema:
Isto significa: para achar a densidade de corrente basta calcular o rotacional (curl) de
. Vou ensinar como calcular esse rotacional em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas
(componentes do vetor
):
Agora aplicamos ao nosso caso. Do enunciado temos
,
e
depende apenas de
(não depende de
nem de
). Substituindo:
-
porque não depende de (é zero) e não depende de . -
porque e . - O único possível componente não nulo é
pois
.
Passo 4
Calcule
. Usando o
dado:
Observe que o fator
cancela com o
da expressão de
, ficando uma função simples do raio
.
Passo 5
Agora calculamos a derivada
. Defina para facilitar
Queremos
. Vamos achar
passo a passo.
Primeiro calcule a derivada de
. Usando regra do produto:
Agrupando termos:
Como
, segue
Portanto
Passo 6
Agora usamos a fórmula do rotacional encontrada no passo 3:
Como as outras componentes são nulas, obtemos
Interpretação rápida: a densidade de corrente é axial (no sentido
) e depende somente da distância radial
, caindo exponencialmente como
.