Em uma certa região condutora, o campo magnético é dado em coordenadas cilíndricas por \vec{H}=\frac{4}{r}\left[1-(1+2 r) e^{-2 r}\right] \vec{a}_{\varphi}. Determine a densidade de corrente \vec{J}.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético em coordenadas cilíndricas e pede a densidade de corrente. Dados fornecidos:
\vec{H}=\frac{4}{r}\Big[1-(1+2 r) e^{-2 r}\Big]\vec{a}_{\varphi}.
Pergunta: determinar \vec{J} (densidade de corrente) nessa região condutora.

Passo 2

Qual equação relaciona \vec{H} e \vec{J}? Vou explicar de forma direta e intuitiva. A equação de Maxwell-Ampère completa é
\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.
Aqui supomos regime estacionário (campo dado sem dependência temporal explícita), ou seja, não há contribuição de deslocamento ( \partial\vec{D}/\partial t=0 ). Logo, para este problema:
\vec{J}=\nabla\times\vec{H}.
Isto significa: para achar a densidade de corrente basta calcular o rotacional (curl) de \vec{H}. Vou ensinar como calcular esse rotacional em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) (componentes do vetor \vec{H}=(H_r,H_\varphi,H_z)):
(\nabla\times\vec{H})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial H_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial H_\varphi}{\partial z},
(\nabla\times\vec{H})_\varphi=\frac{\partial H_r}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial r},
(\nabla\times\vec{H})_z=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r H_\varphi)-\frac{\partial H_r}{\partial \varphi}\right].
Agora aplicamos ao nosso caso. Do enunciado temos H_r=0, H_z=0 e H_\varphi depende apenas de r (não depende de \varphi nem de z). Substituindo:
  • (\nabla\times\vec{H})_r=0 porque H_z não depende de \varphi (é zero) e H_\varphi não depende de z.
  • (\nabla\times\vec{H})_\varphi=0 porque H_r=0 e H_z=0.
  • O único possível componente não nulo é
(\nabla\times\vec{H})_z=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r H_\varphi\big),
pois \partial H_r/\partial\varphi=0.

Passo 4

Calcule r H_\varphi. Usando o H_\varphi dado:
r H_\varphi = r\cdot \frac{4}{r}\Big[1-(1+2 r) e^{-2 r}\Big]=4\Big[1-(1+2 r) e^{-2 r}\Big].
Observe que o fator r cancela com o \tfrac{1}{r} da expressão de H_\varphi, ficando uma função simples do raio r.

Passo 5

Agora calculamos a derivada \dfrac{d}{dr}\big(r H_\varphi\big). Defina para facilitar
g(r)=1-(1+2r)e^{-2r}.
Queremos \dfrac{d}{dr}\big(4 g(r)\big)=4 g'(r). Vamos achar g'(r) passo a passo.
Primeiro calcule a derivada de h(r)=(1+2r)e^{-2r}. Usando regra do produto:
h'(r)= (1+2r)'\,e^{-2r} + (1+2r)\,(e^{-2r})' = 2 e^{-2r} + (1+2r)(-2)e^{-2r}.
Agrupando termos:
h'(r)=\big(2-2(1+2r)\big)e^{-2r}=\big(2-2-4r\big)e^{-2r}=-4r e^{-2r}.
Como g(r)=1-h(r), segue
g'(r)=-h'(r)=4r e^{-2r}.
Portanto
\frac{d}{dr}\big(r H_\varphi\big)=4 g'(r)=4\cdot 4 r e^{-2r}=16 r e^{-2r}.

Passo 6

Agora usamos a fórmula do rotacional encontrada no passo 3:
(\nabla\times\vec{H})_z=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r H_\varphi\big)=\frac{1}{r}\cdot 16 r e^{-2r}=16 e^{-2r}.
Como as outras componentes são nulas, obtemos
\vec{J}=\nabla\times\vec{H}=16 e^{-2r}\,\vec{a}_z.
Interpretação rápida: a densidade de corrente é axial (no sentido \vec{a}_z) e depende somente da distância radial r, caindo exponencialmente como e^{-2r}.

Resposta

\vec{J}=16 e^{-2 r}\,\vec{a}_{z}

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