Questão 3 | Ainda nāo respondida Vale 2,00 ponto(s). P Marcar questāo
O comprimento de onda de um elétron em um poço de potencial infinito é de \lambda=\frac{L}{2}, onde L é a largura do poço. Em que estado se encontra o elétron?
Escolha uma opção:
\bigcirc n=4
\bigcirc n=3
\bigcirc n=6
\bigcirc n=1
\bigcirc n=2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma determinação clara:
  • Informação: o comprimento de onda do elétron é \lambda=\dfrac{L}{2}, onde L é a largura do poço.
  • Informação: o poço é do tipo “poço de potencial infinito” (paredes rígidas em x=0 e x=L).
  • Pergunta: em que estado quântico (ou seja, qual o número quântico principal n) o elétron se encontra?
  • Opções fornecidas: \;n=1,\;n=2,\;n=3,\;n=4,\;n=6.

Passo 2

Entendendo como as ondas ficam dentro do poço (ideia-chave, bem explicada):
  • Em um poço infinito as ondas estacionárias permitidas têm nós (pontos onde a função de onda é zero) nas paredes x=0 e x=L.
  • A função de onda do modo n (sem entrar em detalhes formais) tem n meias-ondas encaixadas entre as paredes. Ou seja, ao longo do comprimento L cabem exatamente n meias-ondas.
  • Explicando “meia-onda”: se a onda tem comprimento de onda \lambda, uma meia-onda tem comprimento \dfrac{\lambda}{2}. Portanto, a condição geométrica é
L = n\cdot\frac{\lambda_n}{2},
onde \lambda_n é o comprimento de onda associado ao nível n. Essa relação vem de contar quantas meias-ondas (cada uma com tamanho \lambda/2) se encaixam no comprimento total L.

Passo 3

Isolando \lambda_n na relação do passo anterior para obter a fórmula padrão:
A partir de
L = n\cdot\frac{\lambda_n}{2},
multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por n, obtemos
\lambda_n = \frac{2L}{n}.
Essa é a fórmula que relaciona o comprimento de onda permitido \lambda_n com o número quântico n. Vou usar essa fórmula para encontrar n.

Passo 4

Substituindo a informação do enunciado \lambda=\dfrac{L}{2} na fórmula \lambda_n=\dfrac{2L}{n}:
Começamos igualando
\frac{L}{2}=\frac{2L}{n}.
Agora simplificamos passo a passo: dividir os dois lados por L (assumindo L\neq 0) dá
\frac{1}{2}=\frac{2}{n}.
Multiplicando ambos os lados por n e depois por 2 ou fazendo inversão simples, fica
n = 2\cdot 2 = 4.

Passo 5

Checagem rápida para sentir segurança (mental check): usando a fórmula \lambda_n=\dfrac{2L}{n}, para \;n=4 temos
\lambda_4=\frac{2L}{4}=\frac{L}{2},
que é exatamente o valor dado no enunciado. Outros valores de n não dão \lambda=\dfrac{L}{2} (por exemplo, n=1\Rightarrow\lambda=2L; n=2\Rightarrow\lambda=L; n=3\Rightarrow\lambda=\tfrac{2L}{3}; n=6\Rightarrow\lambda=\tfrac{L}{3}), então a única opção correta é \;n=4.

Resposta

n=4

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