Um longo condutor cilíndrico cujo eixo coincide com o eixo z tem um raio a e conduz uma corrente caracterizada pela densidade de corrente \vec{J}=\frac{J_{0}}{r} \vec{a}_{z}, onde J_{0} é uma constante e r é a distância radial a partir do eixo do cilindro. Obtenha uma expressão para o campo magnético \vec{H} em
a. 0 \leq r \leq a
b. r>a

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado.
  • Dado: um condutor cilíndrico longo com eixo em z e raio a.
  • Dado: a densidade de corrente é \vec{J}=\dfrac{J_{0}}{r}\,\vec{a}_{z}, onde J_{0} é constante e r é a distância radial ao eixo do cilindro.
  • Pedidos:
    a. Obter \vec{H} para 0 \leq r \leq a.
    b. Obter \vec{H} para r>a.
Informações relevantes extras (implícitas no enunciado): o condutor é longo (logo podemos usar simetria cilíndrica), a corrente está ao longo de z e \vec{H} será função de r apenas e tangencial (direção \vec{a}_{\varphi}) por simetria.

Passo 2

Por que \vec{H} depende só de r e é na direção \vec{a}_{\varphi}?
  • Intuição/simetria: o problema é invariável por rotações em torno do eixo z e por translações ao longo de z. A única direção que respeita essa simetria e pode representar o campo magnético é a direção azimutal \vec{a}_{\varphi}. Então assumimos
\vec{H}(r)=H_{\varphi}(r)\,\vec{a}_{\varphi}.
  • Método: usaremos a Lei de Ampère (forma integral) para magnetostática:
\oint_{C}\vec{H}\cdot d\vec{l}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a área limitada pela curva C. Escolhemos C como uma circunferência de raio r, coaxial com o cilindro, o que simplifica muito a integral.

Passo 3

Calcular a corrente encerrada para r\le a.
Precisamos integrar a densidade de corrente sobre a seção transversal de raio r. Use coordenadas cilíndricas com variável radial \rho (para não confundir com o limite r). A corrente encapsulada é
I_{\text{enc}}(r)=\iint_{S} \vec{J}\cdot d\vec{S}.
Aqui d\vec{S}=\vec{a}_{z}\,\rho\,d\rho\,d\varphi (vetor superfície apontando em +z). Como \vec{J}=\dfrac{J_{0}}{\rho}\,\vec{a}_{z} (usei \rho como variável), temos
\vec{J}\cdot d\vec{S}=\frac{J_{0}}{\rho}\,\vec{a}_{z}\cdot(\vec{a}_{z}\,\rho\,d\rho\,d\varphi)=J_{0}\,d\rho\,d\varphi.
Perceba que o \rho cancela: isso evita singularidade ao integrar em \rho=0. Agora integramos em \varphi de 0 a 2\pi e em \rho de 0 a r:
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} J_{0}\,d\rho\,d\varphi =J_{0}\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{r}d\rho\right) =J_{0}\cdot(2\pi)\cdot r.
Portanto
I_{\text{enc}}(r)=2\pi J_{0} r\qquad\text{para }0\le r\le a.

Passo 4

Aplicar a Lei de Ampère para 0\le r\le a e achar H_{\varphi}(r).
Escolhemos a curva C como a circunferência de raio r. Pela simetria \vec{H}=H_{\varphi}(r)\vec{a}_{\varphi} e d\vec{l}=\vec{a}_{\varphi}\,r\,d\varphi. Assim a integral de linha vira
\oint_{C}\vec{H}\cdot d\vec{l}= \int_{0}^{2\pi} H_{\varphi}(r)\,(\vec{a}_{\varphi}\cdot\vec{a}_{\varphi})\,r\,d\varphi = H_{\varphi}(r)\,r\int_{0}^{2\pi} d\varphi =H_{\varphi}(r)\,r\,(2\pi).
Pela Lei de Ampère isso é igual à corrente encerrada I_{\text{enc}}(r)=2\pi J_{0} r. Portanto
H_{\varphi}(r)\,r\,(2\pi)=2\pi J_{0} r.
Dividindo por 2\pi r (para r>0; o valor em r=0 é obtido por continuidade):
H_{\varphi}(r)=J_{0}.
Assim, para 0\le r\le a o campo magnético é
\vec{H}(r)=J_{0}\,\vec{a}_{\varphi}.
Observação física: o campo é constante no interior apesar de \vec{J} variar com 1/r. Isso aconteceu porque a área elementar trouxe um fator \rho que cancelou a singularidade.

Passo 5

Corrente total atravessando o fio (para usar em r>a).
A corrente total é I_{\text{tot}}=I_{\text{enc}}(a). Usando a fórmula do Passo 3:
I_{\text{tot}}=2\pi J_{0} a.

Passo 6

Aplicar Ampère para r>a e achar H_{\varphi}(r).
Para r>a toda a corrente do condutor está dentro da curva de raio r, então I_{\text{enc}}=I_{\text{tot}}=2\pi J_{0} a. Repetindo a integral de linha (como no Passo 4) obtemos
H_{\varphi}(r)\,r\,(2\pi)=2\pi J_{0} a.
Logo
H_{\varphi}(r)=\frac{2\pi J_{0} a}{2\pi r}=\frac{J_{0}\,a}{r}.
Portanto, para r>a,
\vec{H}(r)=\frac{J_{0}\,a}{r}\,\vec{a}_{\varphi}.
Direção: novamente \vec{a}_{\varphi} (o sinal positivo corresponde ao sentido determinado pela regra da mão direita para corrente em +z).

Passo 7

Comentários finais e verificação rápida.
  • No interior \vec{H} é constante e igual a J_{0}\vec{a}_{\varphi}.
  • No exterior \vec{H} decai como 1/r, típico de um fio filiforme com corrente total I_{\text{tot}}=2\pi J_{0} a.
  • Apesar de \vec{J} ter singularidade formal em r=0, a corrente total em qualquer disco centrado no eixo é finita por causa do fator geométrico \rho na área.

Resposta

a. \displaystyle \vec{H}(r)=J_{0}\,\vec{a}_{\varphi}\quad\text{para }0\le r\le a.
b. \displaystyle \vec{H}(r)=\frac{J_{0}\,a}{r}\,\vec{a}_{\varphi}\quad\text{para }r>a.

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