Um longo condutor cilíndrico cujo eixo coincide com o eixo
tem um raio
e conduz uma corrente caracterizada pela densidade de corrente
, onde
é uma constante e
é a distância radial a partir do eixo do cilindro. Obtenha uma expressão para o campo magnético
em
a.
b.
a.
b.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado.
- Dado: um condutor cilíndrico longo com eixo em
e raio . - Dado: a densidade de corrente é
, onde é constante e é a distância radial ao eixo do cilindro. - Pedidos:
a. Obterpara .
b. Obterpara .
Informações relevantes extras (implícitas no enunciado): o condutor é longo (logo podemos usar simetria cilíndrica), a corrente está ao longo de
e
será função de
apenas e tangencial (direção
) por simetria.
Passo 2
Por que
depende só de
e é na direção
?
- Intuição/simetria: o problema é invariável por rotações em torno do eixo
e por translações ao longo de . A única direção que respeita essa simetria e pode representar o campo magnético é a direção azimutal . Então assumimos
- Método: usaremos a Lei de Ampère (forma integral) para magnetostática:
onde
é a corrente total que atravessa a área limitada pela curva
. Escolhemos
como uma circunferência de raio
, coaxial com o cilindro, o que simplifica muito a integral.
Passo 3
Calcular a corrente encerrada para
.
Precisamos integrar a densidade de corrente sobre a seção transversal de raio
. Use coordenadas cilíndricas com variável radial
(para não confundir com o limite
). A corrente encapsulada é
Aqui
(vetor superfície apontando em
). Como
(usei
como variável), temos
Perceba que o
cancela: isso evita singularidade ao integrar em
. Agora integramos em
de
a
e em
de
a
:
Portanto
Passo 4
Aplicar a Lei de Ampère para
e achar
.
Escolhemos a curva
como a circunferência de raio
. Pela simetria
e
. Assim a integral de linha vira
Pela Lei de Ampère isso é igual à corrente encerrada
. Portanto
Dividindo por
(para
; o valor em
é obtido por continuidade):
Assim, para
o campo magnético é
Observação física: o campo é constante no interior apesar de
variar com
. Isso aconteceu porque a área elementar trouxe um fator
que cancelou a singularidade.
Passo 5
Corrente total atravessando o fio (para usar em
).
A corrente total é
. Usando a fórmula do Passo 3:
Passo 6
Aplicar Ampère para
e achar
.
Para
toda a corrente do condutor está dentro da curva de raio
, então
. Repetindo a integral de linha (como no Passo 4) obtemos
Logo
Portanto, para
,
Direção: novamente
(o sinal positivo corresponde ao sentido determinado pela regra da mão direita para corrente em
).
Passo 7
Comentários finais e verificação rápida.
- No interior
é constante e igual a . - No exterior
decai como , típico de um fio filiforme com corrente total . - Apesar de
ter singularidade formal em , a corrente total em qualquer disco centrado no eixo é finita por causa do fator geométrico na área.
Resposta
a.
b.
b.