A entropia de um dado sistema composto de N partículas é
S(U, V, N)=3 \alpha V^{2}\left[\tan \left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],(1)
onde \alpha e \beta são constantes. Calcule
  • a temperatura;

Passo 1

O enunciado fornece a entropia do sistema composta por N partículas:
S(U,V,N)=3\alpha V^{2}\left[\tan\!\left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],
onde \alpha e \beta são constantes. A única pergunta é: calcular a temperatura.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a temperatura T é definida, termodinamicamente, pela derivada parcial da entropia em relação à energia interna U, mantidos V e N constantes. Em fórmulas:
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}.
Isto significa que para achar T basta calcular a derivada parcial \partial S/\partial U e depois inverter o resultado.

Passo 3

Vamos calcular \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} passo a passo.
Primeiro observe a forma de S:
S(U,V,N)=3\alpha V^{2}\bigg(\tan\!\big(\tfrac{U}{N}\big)+\beta N\bigg).
O termo \beta N não depende de U, então sua derivada em relação a U é zero. Assim só precisamos derivar \tan\!\big(\tfrac{U}{N}\big).
Aplicamos a regra da cadeia. Regra da cadeia: se g(x)=\tan(h(x)), então g'(x)=\operatorname{sec}^{2}(h(x))\cdot h'(x). Aqui h(U)=\tfrac{U}{N}, cuja derivada em relação a U é h'(U)=\tfrac{1}{N}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial U}\left[\tan\!\left(\frac{U}{N}\right)\right] =\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\frac{1}{N}.
Multiplicando pelo fator 3\alpha V^{2}, obtemos
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} =3\alpha V^{2}\cdot\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).

Passo 4

Agora usamos \dfrac{1}{T}=\left(\dfrac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}. Logo
\frac{1}{T}=3\alpha V^{2}\cdot\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Invertendo para obter T,
T=\frac{1}{3\alpha V^{2}}\cdot\frac{N}{\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)} =\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Observação: a constante \beta não aparece na expressão da temperatura porque o termo \beta N não depende de U.

Resposta

T=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)

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