Em uma certa região do espaço existe uma distribuição cilíndrica de cargas cujo potencial é dado por:
V(r)= \begin{cases}\frac{Q}{2 \pi \epsilon_{0} a} \ln \frac{\rho}{a}+V_{0}, & \text { para } 0<\rho \leq 2 a \\\ \frac{Q}{\pi \epsilon_{0} \rho}\left(2-4 \frac{\rho}{a}+\frac{\rho^{2}}{a^{2}}\right), & \text { para } a \leq \rho \leq 2 a \\\ \frac{Q}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \rho, & \text { para } \rho \geq 2 a\end{cases}
a) Qual deve ser o valor da constante V_{0} ?
b) Calcule \mathbf{E} em todas as regiões.
c) Determine, qualitativa e quantitativamente, como é a distribuição de cargas que dá origem a este campo e potencial.
d) Determine a carga total entre os planos z=0 e z=a desta distribuição.
e pede:
a) valor de V_{0} para manter V contínuo em \rho=a;
b) o campo \mathbf E=-\nabla V em cada região;
c) a distribuição de cargas (volumétrica e de superfície) que gera esse V;
d) a carga total entre z=0 e z=a.
Para resolver usaremos continuidade de potencial, derivação radial para \mathbf E, equação de Poisson em coordenadas cilíndricas e a Lei de Gauss para cilindros.]
Passo 2
Determinar V_{0} impondo continuidade de V em \rho=a.
Para \rho\to a^{-} (região interna)
a) \displaystyle V_{0}=-\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}a}.
b) \displaystyle \mathbf E_{1}=-\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a\,\rho}\,\hat\boldsymbol\rho, \displaystyle \mathbf E_{2}=\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{2}{\rho^{2}}-\frac{1}{a^{2}}\Bigr)\hat\boldsymbol\rho, \displaystyle \mathbf E_{3}=-\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}\,\rho}\,\hat\boldsymbol\rho.
c)
– Região interna \rho<a: \rho_{\rm vol}=0.
– Região intermédia a<\rho<2a: \displaystyle \rho_{\rm vol}(\rho)=-\frac{Q}{\pi}\Bigl(\frac2{\rho^{3}}+\frac1{a^{2}\rho}\Bigr).
– Superfícies em \rho=a e \rho=2a com \displaystyle \sigma(a)=\frac{3Q}{2\pi a^{2}} (e \sigma(2a) obtido analogamente).
d) Q_{\text{total entre }z=0\text{ e }z=a}=Q\,a.