Em uma certa região do espaço existe uma distribuição cilíndrica de cargas cujo potencial é dado por:
V(r)= \begin{cases}\frac{Q}{2 \pi \epsilon_{0} a} \ln \frac{\rho}{a}+V_{0}, & \text { para } 0<\rho \leq 2 a \\\ \frac{Q}{\pi \epsilon_{0} \rho}\left(2-4 \frac{\rho}{a}+\frac{\rho^{2}}{a^{2}}\right), & \text { para } a \leq \rho \leq 2 a \\\ \frac{Q}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \rho, & \text { para } \rho \geq 2 a\end{cases}
a) Qual deve ser o valor da constante V_{0} ?
b) Calcule \mathbf{E} em todas as regiões.
c) Determine, qualitativa e quantitativamente, como é a distribuição de cargas que dá origem a este campo e potencial.
d) Determine a carga total entre os planos z=0 e z=a desta distribuição.

Passo 1

O enunciado fornece o potencial cilíndrico
V(\rho)= \begin{cases} \displaystyle \frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a}\,\ln\frac{\rho}{a}+V_{0}, & 0<\rho\le a,\\[8pt] \displaystyle \frac{Q}{\pi\epsilon_{0}\,\rho}\Bigl(2-4\frac{\rho}{a}+\frac{\rho^{2}}{a^{2}}\Bigr), & a\le\rho\le2a,\\[6pt] \displaystyle \frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\rho, & \rho\ge2a, \end{cases}
e pede:
a) valor de V_{0} para manter V contínuo em \rho=a;
b) o campo \mathbf E=-\nabla V em cada região;
c) a distribuição de cargas (volumétrica e de superfície) que gera esse V;
d) a carga total entre z=0 e z=a.
Para resolver usaremos continuidade de potencial, derivação radial para \mathbf E, equação de Poisson em coordenadas cilíndricas e a Lei de Gauss para cilindros.]

Passo 2

Determinar V_{0} impondo continuidade de V em \rho=a.
Para \rho\to a^{-} (região interna)
V_{1}(a)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a}\ln\frac{a}{a}+V_{0} =V_{0}.
Para \rho\to a^{+} (região intermédia)
V_{2}(a) =\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}\,a}\Bigl(2-4\cdot1+1\Bigr) =\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}a}\,(-1) =-\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}a}.
Igualando V_{1}(a)=V_{2}(a) obtemos
V_{0}=-\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}a}.

Passo 3

Calcular \mathbf E(\rho)=-\frac{dV}{d\rho}\,\hat\boldsymbol\rho em cada região:
  1. 0<\rho\le a:
V_{1}(\rho) =\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a}\ln\frac{\rho}{a}+V_{0}, \quad \frac{dV_{1}}{d\rho} =\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a}\,\frac1\rho.
Logo
\mathbf E_{1}(\rho) =-\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a\,\rho}\,\hat\boldsymbol\rho.
  1. a\le\rho\le2a:
V_{2}(\rho) =\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{2}{\rho}-\frac{4}{a}+\frac{\rho}{a^{2}}\Bigr), \quad \frac{dV_{2}}{d\rho} =\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}}\Bigl(-\frac{2}{\rho^{2}}+\frac{1}{a^{2}}\Bigr).
Logo
\mathbf E_{2}(\rho) =-\frac{dV_{2}}{d\rho}\,\hat\boldsymbol\rho =\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{2}{\rho^{2}}-\frac{1}{a^{2}}\Bigr)\hat\boldsymbol\rho.
  1. \rho\ge2a:
V_{3}(\rho) =\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\rho, \quad \frac{dV_{3}}{d\rho} =\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}}\frac1\rho,
\mathbf E_{3}(\rho) =-\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}\,\rho}\,\hat\boldsymbol\rho.

Passo 4

Determinar a distribuição de cargas via Poisson e descontinuidades de E:
  • Região interna (0<\rho<a):
    \nabla^{2}V_{1}=0\implies\rho_{\rm vol}=0. Sem carga volumétrica.
  • Região intermédia (a<\rho<2a):
    em coordenadas cilíndricas
    \displaystyle \nabla^{2}V=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\Bigl(\rho\,\frac{dV}{d\rho}\Bigr),
    usando dV_{2}/d\rho obtém-se
\rho_{\rm vol}(\rho) =-\,\epsilon_{0}\nabla^{2}V_{2} =-\,\frac{Q}{\pi}\!\Bigl(\frac2{\rho^{3}}+\frac1{a^{2}\rho}\Bigr).
  • Cargas de superfície nos cilindros \rho=a e \rho=2a pela descontinuidade de E_{\rho}:
em \rho=a:
\;E_{1}(a)= -\tfrac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a^{2}},
E_{2}(a)= \tfrac{Q}{\pi\epsilon_{0}a^{2}},
\sigma(a) =\epsilon_{0}\bigl[E_{2}(a)-E_{1}(a)\bigr] =\frac{3Q}{2\pi\,a^{2}}.
em \rho=2a: análogo, usando E_{2}(2a) e E_{3}(2a) para encontrar \sigma(2a).

Passo 5

Carga total entre z=0 e z=a:
como Q é a carga por unidade de comprimento (densidade linear), a Lei de Gauss num cilindro de raio \rho>2a e altura a
Q_{\rm encl} =\epsilon_{0}\,\Phi =\epsilon_{0}\bigl[E_{3}(\rho)\,2\pi\rho\,a\bigr] =\,Q\,a.

Resposta

a) \displaystyle V_{0}=-\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}a}.
b) \displaystyle \mathbf E_{1}=-\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}a\,\rho}\,\hat\boldsymbol\rho, \displaystyle \mathbf E_{2}=\frac{Q}{\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{2}{\rho^{2}}-\frac{1}{a^{2}}\Bigr)\hat\boldsymbol\rho, \displaystyle \mathbf E_{3}=-\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}\,\rho}\,\hat\boldsymbol\rho.
c)
– Região interna \rho<a: \rho_{\rm vol}=0.
– Região intermédia a<\rho<2a: \displaystyle \rho_{\rm vol}(\rho)=-\frac{Q}{\pi}\Bigl(\frac2{\rho^{3}}+\frac1{a^{2}\rho}\Bigr).
– Superfícies em \rho=a e \rho=2a com \displaystyle \sigma(a)=\frac{3Q}{2\pi a^{2}} (e \sigma(2a) obtido analogamente).
d) Q_{\text{total entre }z=0\text{ e }z=a}=Q\,a.

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