A carga total do elétron dentro de um raio r é igual à integral de \rho\left(r^{\prime}\right) d V no intervalo entre r^{\prime}=0 e r^{\prime}=r. Monte essa integral (mas não resolva ainda), e use-a para escrever uma expressão para a carga total (incluindo o próton) dentro de uma esfera de raio r.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a carga total do elétron acumulada dentro de uma esfera de raio r como uma integral da densidade de carga \rho(r'), e em seguida somar a contribuição pontual do próton no centro.

Passo 2

Como o problema tem simetria esférica, o elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = 4\pi\,r'^{2}\,dr'.
Logo, a carga do elétron contida em uma esfera de raio r é
Q_{\text{el}}(r) \;=\;\int_{0}^{r}\rho\bigl(r'\bigr)\,dV \;=\;\int_{0}^{r}\rho\bigl(r'\bigr)\,4\pi\,r'^{2}\,dr'.

Passo 3

Para obter a carga total interna à esfera de raio r, somamos a carga pontual do próton (que é +e) à carga do elétron distribuída:
Q_{\text{total}}(r) =\;e \;+\;\int_{0}^{r}\rho\bigl(r'\bigr)\,4\pi\,r'^{2}\,dr'.

Resposta

Q_{\text{total}}(r) =\;e \;+\;\int_{0}^{r}\rho\bigl(r'\bigr)\,4\pi\,r'^{2}\,dr'.

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