Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado V=3 x y^2-2 x^2 y^2 z^3-x y z^2. Determine:
a) as expressões para as componentes x, y, e z do campo elétrico nessa região;

Passo 1

Beleza, o exercício diz que o potencial elétrico numa certa região é
V(x,y,z)=3,x,y^2;-;2,x^2y^2z^3;-;x,y,z^2,
A matéria aqui é “campo elétrico a partir do potencial”. Pra resolver, a gente vai usar a definição
E=-nabla V
ou seja, calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e colocar sinal negativo.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar que
Ex=-partial Vpartial x,
Então derivamos cada termo de partial Vpartial x=3y^2-4x,y^2z^3 -y,z^2, em relação a Ex=-l(3y^2-4x,y^2z^3 -y,z^2r)=-3y^2+4x,y^2z^3 +y,z^2, :
- (regra do produto simples: trata como constante).
- .
- .
Somando:
Aplicando o sinal negativo:

Passo 3

Em seguida,
Ey=-partial Vpartial y,
Derivando partial Vpartial y=6x,y-4x^2y,z^3 -x,z^2,, em relação a Ey=-l(6x,y-4x^2y,z^3 -x,z^2r)=-6x,y+4x^2y,z^3 +x,z^2, :
- .
- .
- .
Logo,
e

Passo 4

Por fim,
Ez=-partial Vpartial z,
Derivando partial Vpartial z=-6x^2y^2z^2 -2x,y,z,, em relação a Ez=-l(-6x^2y^2z^2 -2x,y,zr)=6x^2y^2z^2 +2x,y,z, :
- (não depende de ).
- .
- .
Então
e

Resposta

As componentes do campo elétrico são:
Ex=-3y^2+4x,y^2z^3 +y,z^2,[6pt] Ey=-6x,y+4x^2y,z^3 +x,z^2,[6pt] Ez=6x^2y^2z^2 +2x,y,z

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