Considere um anel de raio R com carga total -2 Q distribuída uniformemente sobre seu perímetro. Determinar:
a) o campo elétrico do anel em um ponto do seu eixo, a uma distância x=(4 / 5) R do centro em função de Q e R;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um anel de raio R com carga total -2Q distribuída uniformemente. A tarefa (parte a) é achar o campo elétrico que esse anel produz em um ponto do seu eixo, precisamente a uma distância
x = 45R
do centro.
Conteúdo envolvido: eletrostática (Lei de Coulomb), distribuição contínua de carga, simetria cilíndrica e cálculo de integral para somar contribuições elementares de campo. Para resolver, vamos precisar:
  1. Entender a Lei de Coulomb para um elemento de carga dq.
  2. Usar simetria para perceber que só sobra a componente do campo ao longo do eixo do anel.
  3. Montar e calcular a integral que soma todas essas contribuições.

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Coulomb em forma diferencial: um pedacinho de carga dq produz num ponto distante r um campo
dE = 14pivarepsilon0,dqr^2,r,
No nosso caso, o ponto fica sobre o eixo perpendicular ao plano do anel, a uma distância x do centro. Qual a distância r entre o elemento dq e o ponto? Pelo teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + R^2,
Além disso, por simetria, as componentes transversais ao eixo se cancelam (o anel é “redondo” e uniforme), sobram só as componentes ao longo de x. Se theta é o ângulo entre a linha que liga dq ao ponto e o eixo, temos
costheta = xraizx^2 + R^2,
Logo a contribuição ao longo do eixo é
dEx = dE,costheta = 14pivarepsilon0,dq(x^2+R^2);xraizx^2+R^2 = 14pivarepsilon0,x,dq(x^2+R^2)^3/2,

Passo 3

Agora somamos (integramos) dEx em todo o anel. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade linear é
lambda = Qrm total2pi R = -2Q2pi R = -Qpi R,
E um pedacinho de carga é dq = lambda,dl = lambda,R,dphi. Substituindo dentro de dEx e integrando phi de 0 a 2pi, como tudo em phi entra de forma constante:
$$E_x = \int dE_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{x}{(x2+R2){3/2}}\int_0{2\pi}!dq
= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{x}{(x2+R2)^{3/2}},(Q_{\rm total}),. Ex = integral dEx = 14pivarepsilon0,x(x^2+R^2)^3/2integral0^2pi!dq = 14pivarepsilon0,x(x^2+R^2)^3/2,(Qrm total), é
E_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q_{\rm total},x}{(x2+R2)^{3/2}},
$$
apontando no sentido de Qrm total se Ex = 14pivarepsilon0,Qrm total,x(x^2+R^2)^3/2,, for positivo, e ao contrário se for negativo.

Passo 4

Só falta substituir: aqui Qrm total=-2Q e x=tfrac45R. Então
  1. x^2+R^2 = (45R)^2 + R^2 = 1625R^2 + R^2 = 4125R^2.
  2. (x^2+R^2)^3/2 = (4125R^2)^3/2 = 41^3/25^3R^3 = 41^3/2125R^3
Portanto
Ex = 14pivarepsilon0,(-2Q),l(tfrac45Rr)l(tfrac4125R^2r)^3/2 = 14pivarepsilon0,-8QR/541^3/2R^3/125 = 14pivarepsilon0,gl(-85times12541^3/2gr)QR^2
Simplificando tfrac85times125 = 200, fica
Ex = -2004pivarepsilon0,Q41^3/2,R^2,

Resposta

boxed,E = -2004pivarepsilon0,Q41^3/2,R^2,x,,
ou seja, módulo
l|Er| = 2004pivarepsilon0,Q41^3/2,R^2,
e o sinal negativo indica que o campo aponta em direção ao centro do anel (porque a carga é negativa).

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