Considere um anel de raio com carga total -2 Q distribuída uniformemente sobre seu perímetro. Determinar:
a) o campo elétrico do anel em um ponto do seu eixo, a uma distância x=(4 / 5) R do centro em função de Q e R;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um anel de raio R com carga total -2Q distribuída uniformemente. A tarefa (parte a) é achar o campo elétrico que esse anel produz em um ponto do seu eixo, precisamente a uma distância
x = 45R
do centro.
Conteúdo envolvido: eletrostática (Lei de Coulomb), distribuição contínua de carga, simetria cilíndrica e cálculo de integral para somar contribuições elementares de campo. Para resolver, vamos precisar:
Entender a Lei de Coulomb para um elemento de carga dq.
Usar simetria para perceber que só sobra a componente do campo ao longo do eixo do anel.
Montar e calcular a integral que soma todas essas contribuições.
Passo 2
Primeiro, lembra da Lei de Coulomb em forma diferencial: um pedacinho de carga dq produz num ponto distante r um campo
dE = 14pivarepsilon0,dqr^2,r,
No nosso caso, o ponto fica sobre o eixo perpendicular ao plano do anel, a uma distância x do centro. Qual a distância r entre o elemento dq e o ponto? Pelo teorema de Pitágoras: r = raizx^2 + R^2,
Além disso, por simetria, as componentes transversais ao eixo se cancelam (o anel é “redondo” e uniforme), sobram só as componentes ao longo de x. Se theta é o ângulo entre a linha que liga dq ao ponto e o eixo, temos
costheta = xraizx^2 + R^2,
Logo a contribuição ao longo do eixo é dEx = dE,costheta = 14pivarepsilon0,dq(x^2+R^2);xraizx^2+R^2 = 14pivarepsilon0,x,dq(x^2+R^2)^3/2,
Passo 3
Agora somamos (integramos) dEx em todo o anel. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade linear é
lambda = Qrm total2pi R = -2Q2pi R = -Qpi R,
E um pedacinho de carga é dq = lambda,dl = lambda,R,dphi. Substituindo dentro de dEx e integrando phi de 0 a 2pi, como tudo em phi entra de forma constante:
$$E_x = \int dE_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{x}{(x2+R2){3/2}}\int_0{2\pi}!dq
= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{x}{(x2+R2)^{3/2}},(Q_{\rm total}),. Ex = integral dEx = 14pivarepsilon0,x(x^2+R^2)^3/2integral0^2pi!dq = 14pivarepsilon0,x(x^2+R^2)^3/2,(Qrm total), é