• P3 - Certa regiâo do espaço tem um campo magnético uniforme de 0,020T e um campo elétrico uniforme de 2,50 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Determine (a) a densidade da energia eletromagnética total na regiâ̄o e (b) a energia em uma caixa cúbica de lado \mathrm{I}=12,0 \mathrm{~cm}.
    a)
\begin{aligned} u_{e}=\frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} & =27,7 \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{3} \quad u_{m}=\frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu_{0}}=159 \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{3} \\\ u_{T} & =u_{e}+u_{m}=187 \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{3} \end{aligned}
b) \quad U=u_{T} V=0,323 \mathrm{~J}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a densidade de energia eletromagnética total na região.
  • (b) Determinar a energia eletromagnética contida em uma caixa cúbica de lado l=12{,}0\\ \mathrm{cm}.
Informações dadas (vou listá‑las exatamente como vieram):
B=0{,}020\\ \mathrm{T}
E=2{,}50\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}
Também usaremos as constantes do vácuo:
\epsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}

Passo 2

Fórmulas fundamentais (explicando o porquê e o que cada símbolo significa):
  • A densidade de energia elétrica (energia por unidade de volume armazenada no campo elétrico) é dada por
u_{e}=\tfrac{1}{2}\,\epsilon_{0}\,E^{2},
onde \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo (medida de quanto o espaço “aceita” campo elétrico), e E é a intensidade do campo elétrico (em \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}). A unidade de u_{e} é \mathrm{J/m^{3}}.
  • A densidade de energia magnética (energia por unidade de volume no campo magnético) é dada por
u_{m}=\tfrac{1}{2}\,\frac{B^{2}}{\mu_{0}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (medida de quanto o espaço “permite” campo magnético) e B é a intensidade do campo magnético (em tesla, \mathrm{T}). A unidade de u_{m} também é \mathrm{J/m^{3}}.
  • A densidade de energia eletromagnética total é a soma:
u_{T}=u_{e}+u_{m}.
Agora aplicamos essas fórmulas com os valores dados.

Passo 3

Cálculo de u_{e} passo a passo.
Primeiro calcule E^{2}:
E^{2}=\bigl(2{,}50\times10^{6}\bigr)^{2}=6{,}25\times10^{12}.
Multiplico por \epsilon_{0}:
\epsilon_{0}E^{2}=\bigl(8{,}854187817\times10^{-12}\bigr)\bigl(6{,}25\times10^{12}\bigr).
Note que 10^{-12}\times10^{12}=1, então o fator de potência de 10 some, ficando apenas
8{,}854187817\times6{,}25=55{,}33867385625.
Agora aplico o \tfrac{1}{2}:
u_{e}=\tfrac{1}{2}\times55{,}33867385625=27{,}669336928125\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
u_{e}\approx27{,}7\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 4

Cálculo de u_{m} passo a passo.
Primeiro calcule B^{2}:
B^{2}=(0{,}020)^{2}=0{,}0004=4{,}0\times10^{-4}.
Valor de \mu_{0}:
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\approx1{,}2566370614\times10^{-6}\\ \mathrm{N/A^{2}}.
Faço a divisão B^{2}/\mu_{0}:
\frac{B^{2}}{\mu_{0}}=\frac{4{,}0\times10^{-4}}{1{,}2566370614\times10^{-6}}.
Simplificando as potências de 10: \dfrac{10^{-4}}{10^{-6}}=10^{2}, então numericamente fica
\frac{4{,}0}{1{,}2566370614}\times10^{2}\approx3{,}1830988618\times10^{2}=318{,}30988618.
Agora aplico o fator \tfrac{1}{2}:
u_{m}=\tfrac{1}{2}\times318{,}30988618=159{,}15494309\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Arredondando:
u_{m}\approx159\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 5

Soma para obter a densidade total:
u_{T}=u_{e}+u_{m}=27{,}669336928125+159{,}15494309=186{,}824280018125\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Arredondando para três algarismos significativos:
u_{T}\approx187\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 6

Cálculo do volume da caixa cúbica e conversão de unidades.
Lado dado:
l=12{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m}.
Volume do cubo:
V=l^{3}=(0{,}12)^{3}=0{,}001728\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 7

Cálculo da energia total U dentro da caixa:
U=u_{T}\,V.
Substituindo os valores (uso o valor mais preciso antes do arredondamento para maior exatidão, depois arredondo):
U=186{,}824280018125\times0{,}001728=0{,}32283235584\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
U\approx0{,}323\\ \mathrm{J}.

Resposta

\displaystyle u_{T}=187\\ \mathrm{J/m^{3}}
\displaystyle U=0{,}323\\ \mathrm{J}

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