Quais são as diferenças entre forças internas e externas em um sistema de partículas, e qual o papel delas na conservação do momento linear?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (i) listar as diferenças entre forças internas e forças externas em um sistema de partículas; (ii) explicar qual é o papel dessas forças na conservação do momento linear do sistema.
Informações implícitas que vou usar sem perguntar: temos um sistema de N partículas, cada partícula pode exercer forças sobre as outras (forças internas) e pode sofrer forças vindas de fora do sistema (forças externas). Vou trabalhar com as leis de Newton no sentido usual (segunda e terceira leis), e com definições de momento linear e centro de massa.

Passo 2

Definição e ideia básica — calma, devagar:
  • Força sobre a partícula i: vou chamar de \mathbf{F}_i. Essa força pode ser de duas fontes: interna (outra partícula do mesmo sistema) ou externa (algo fora do sistema).
  • Força interna entre a partícula i e j: denoto por \mathbf{F}_{ij}, que é a força que a partícula j exerce sobre a i.
  • Força externa sobre a partícula i: denoto por \mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
    Essas definições deixam claro o que é interno (entre membros do mesmo sistema) e externo (origem fora do sistema).

Passo 3

Momento linear de cada partícula e do sistema — o que é isso e por que importa:
  • Momento linear da partícula i: \mathbf{p}_i = m_i \mathbf{v}_i, onde m_i é a massa da partícula i e \mathbf{v}_i sua velocidade.
  • Momento linear total do sistema: \displaystyle \mathbf{P}=\sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i=\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i.
    O objetivo será relacionar a derivada temporal de \mathbf{P} com as forças internas e externas.

Passo 4

Equação de movimento de cada partícula (segunda lei de Newton) e interpretação dos termos — passo a passo:
Para cada partícula i aplicamos a segunda lei:
\frac{d\mathbf{p}_i}{dt}=\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}+\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
Aqui \sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij} é a soma das forças vindas das outras partículas do sistema (todas internas ao sistema), e \mathbf{F}_i^{\text{ext}} é a soma das forças que vêm de fora. Essa fórmula é só uma escrita organizada da ideia “variação do momento = somatório das forças que atuam”.

Passo 5

Somando as equações para todas as partículas e isolando a soma das forças internas:
Somando sobre i de 1 a N obtemos
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\sum_{i=1}^N\frac{d\mathbf{p}_i}{dt}=\sum_{i=1}^N\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}+\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
A primeira soma dupla é a soma de todas as forças internas consideradas uma a uma; a segunda soma é a soma das forças externas em todas as partículas. Nosso objetivo agora é entender o termo \sum_{i}\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}.

Passo 6

Por que as forças internas somam zero (no caso usual) — uso da terceira lei de Newton:
A terceira lei diz que para cada par (i,j) vale
\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}.
Logo, ao somar todas as forças internas em pares, cada par cancela. Uma forma explícita de ver é escrever a soma dupla como metade da soma simétrica:
\sum_{i}\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}=\frac{1}{2}\sum_{i}\sum_{j\ne i}\left(\mathbf{F}_{ij}+\mathbf{F}_{ji}\right)=\frac{1}{2}\sum_{i}\sum_{j\ne i}\mathbf{0}=\mathbf{0}.
Portanto, sob a hipótese de que as forças internas obedecem a \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji} (ação e reação), a soma de todas as forças internas é nula.

Passo 7

Resultado central: relação entre variação do momento total e forças externas — conclusão direta:
Substituindo o cancelamento das internas na equação do Passo 5, ficamos com
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
Isto é uma fórmula poderosa e simples: a taxa de variação do momento linear total do sistema é igual à soma das forças externas sobre o sistema. Em particular, se
\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\mathbf{0},
então
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{P}=\text{constante},
ou seja, o momento linear total é conservado.

Passo 8

Interpretação física e exemplos práticos (pra fixar):
  • Exemplo fácil: duas bolas que colidem no centro de massa de um sistema isolado (sem forças externas resultantes) trocam forças internas durante o choque, mas a soma das forças internas se cancela, logo o momento total antes e depois do choque é o mesmo.
  • Foguete e massas variáveis: se você considera foguete+combustível como um sistema fechado e isolado, o momento total é conservado; se, em vez disso, você olhar só para o foguete e ignorar os gases expulsos (sistema aberto), então há troca de momento com as partículas que saem e a equação do Passo 7 não se aplica diretamente sem tratar corretamente o fluxo de massa. Em provas, sempre identifique se o sistema é fechado/isola­do ou não.
  • Outro exemplo: pessoa em patins empurrando um carrinho — forças internas entre pessoa e carrinho não mudam o momento do sistema pessoa+carrinho; a velocidade do centro de massa só muda se há força externa resultante (como atrito com o chão).

Passo 9

Cuidados, exceções e quando a conta precisa de mais atenção — não se assuste com esses detalhes na prova:
  • A dedução que leva ao cancelamento das forças internas usa a terceira lei na forma \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}. Existem situações (forças retardadas, interações eletromagnéticas com campo) nas quais as forças entre partículas não são instantaneamente opostas; nessas situações o campo carrega momento e você precisa incluir o momento do campo para obter a conservação global. Em outras palavras: se as forças internas não satisfazem a lei de ação-reação na forma simples, inclua o campo como parte do sistema.
  • Em problemas de mecânica clássica típicos de prova (colisões, sistemas de partículas com forças centrais, gravitação newtoniana, molas ideais), a hipótese da terceira lei vale e as internas se anulam, então basta checar forças externas.

Passo 10

Relação com o centro de massa — uma equação útil em provas:
Defina posição do centro de massa
\mathbf{R}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i,
onde M=\sum_{i=1}^N m_i é a massa total. Diferenciando duas vezes e usando o resultado do Passo 7 obtém-se
M\mathbf{a}_{\text{CM}}=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
Isto é prático: a aceleração do centro de massa é dada pela resultante das forças externas dividida pela massa total. Em provas, se a resultante externa é zero, o centro de massa não acelera e o momento total é constante.

Passo 11

Dicas rápidas para a prova (como checar conservação do momento sem erro):
  • Identifique o sistema claramente.
  • Liste todas as forças e classifique em internas/externas.
  • Verifique se a soma vetorial das forças externas é zero. Se for, momentum total é conservado.
  • Lembre-se de que choques e interações internas (mesmo muito fortes) não mudam a soma total se a terceira lei valer.
  • Se houver campos (eletromagnetismo, radiação) pense em incluir o momento do campo no balanço.

Resposta

Diferenças: Forças internas são as forças que partículas do próprio sistema exercem umas sobre as outras ( \mathbf{F}_{ij}); forças externas vêm de agentes fora do sistema ( \mathbf{F}_i^{\text{ext}}). Forças internas aparecem em pares entre partículas enquanto forças externas não têm esse pareamento.
Papel na conservação do momento linear: A derivada do momento total satisfaz \displaystyle \frac{d\mathbf{P}}{dt}=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^{\text{ext}}. Assim, as forças internas (quando obedecem \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}) se cancelam na soma e não alteram \mathbf{P}; portanto, se \sum_{i}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\mathbf{0} o momento linear total é conservado.

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