Quais são as diferenças entre forças internas e externas em um sistema de partículas, e qual o papel delas na conservação do momento linear?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (i) listar as diferenças entre forças internas e forças externas em um sistema de partículas; (ii) explicar qual é o papel dessas forças na conservação do momento linear do sistema.
Informações implícitas que vou usar sem perguntar: temos um sistema de partículas, cada partícula pode exercer forças sobre as outras (forças internas) e pode sofrer forças vindas de fora do sistema (forças externas). Vou trabalhar com as leis de Newton no sentido usual (segunda e terceira leis), e com definições de momento linear e centro de massa.
Informações implícitas que vou usar sem perguntar: temos um sistema de
Passo 2
Definição e ideia básica — calma, devagar:
- Força sobre a partícula
: vou chamar de . Essa força pode ser de duas fontes: interna (outra partícula do mesmo sistema) ou externa (algo fora do sistema). - Força interna entre a partícula
e : denoto por , que é a força que a partícula exerce sobre a . - Força externa sobre a partícula
: denoto por .
Essas definições deixam claro o que é interno (entre membros do mesmo sistema) e externo (origem fora do sistema).
Passo 3
Momento linear de cada partícula e do sistema — o que é isso e por que importa:
- Momento linear da partícula
: , onde é a massa da partícula e sua velocidade. - Momento linear total do sistema:
.
O objetivo será relacionar a derivada temporal decom as forças internas e externas.
Passo 4
Equação de movimento de cada partícula (segunda lei de Newton) e interpretação dos termos — passo a passo:
Para cada partícula aplicamos a segunda lei:
Para cada partícula
Aqui
é a soma das forças vindas das outras partículas do sistema (todas internas ao sistema), e
é a soma das forças que vêm de fora. Essa fórmula é só uma escrita organizada da ideia “variação do momento = somatório das forças que atuam”.
Passo 5
Somando as equações para todas as partículas e isolando a soma das forças internas:
Somando sobre de
a
obtemos
Somando sobre
A primeira soma dupla é a soma de todas as forças internas consideradas uma a uma; a segunda soma é a soma das forças externas em todas as partículas. Nosso objetivo agora é entender o termo
.
Passo 6
Por que as forças internas somam zero (no caso usual) — uso da terceira lei de Newton:
A terceira lei diz que para cada par vale
A terceira lei diz que para cada par
Logo, ao somar todas as forças internas em pares, cada par cancela. Uma forma explícita de ver é escrever a soma dupla como metade da soma simétrica:
Portanto, sob a hipótese de que as forças internas obedecem a
(ação e reação), a soma de todas as forças internas é nula.
Passo 7
Resultado central: relação entre variação do momento total e forças externas — conclusão direta:
Substituindo o cancelamento das internas na equação do Passo 5, ficamos com
Substituindo o cancelamento das internas na equação do Passo 5, ficamos com
Isto é uma fórmula poderosa e simples: a taxa de variação do momento linear total do sistema é igual à soma das forças externas sobre o sistema. Em particular, se
então
ou seja, o momento linear total é conservado.
Passo 8
Interpretação física e exemplos práticos (pra fixar):
- Exemplo fácil: duas bolas que colidem no centro de massa de um sistema isolado (sem forças externas resultantes) trocam forças internas durante o choque, mas a soma das forças internas se cancela, logo o momento total antes e depois do choque é o mesmo.
- Foguete e massas variáveis: se você considera foguete+combustível como um sistema fechado e isolado, o momento total é conservado; se, em vez disso, você olhar só para o foguete e ignorar os gases expulsos (sistema aberto), então há troca de momento com as partículas que saem e a equação do Passo 7 não se aplica diretamente sem tratar corretamente o fluxo de massa. Em provas, sempre identifique se o sistema é fechado/isolado ou não.
- Outro exemplo: pessoa em patins empurrando um carrinho — forças internas entre pessoa e carrinho não mudam o momento do sistema pessoa+carrinho; a velocidade do centro de massa só muda se há força externa resultante (como atrito com o chão).
Passo 9
Cuidados, exceções e quando a conta precisa de mais atenção — não se assuste com esses detalhes na prova:
- A dedução que leva ao cancelamento das forças internas usa a terceira lei na forma
. Existem situações (forças retardadas, interações eletromagnéticas com campo) nas quais as forças entre partículas não são instantaneamente opostas; nessas situações o campo carrega momento e você precisa incluir o momento do campo para obter a conservação global. Em outras palavras: se as forças internas não satisfazem a lei de ação-reação na forma simples, inclua o campo como parte do sistema. - Em problemas de mecânica clássica típicos de prova (colisões, sistemas de partículas com forças centrais, gravitação newtoniana, molas ideais), a hipótese da terceira lei vale e as internas se anulam, então basta checar forças externas.
Passo 10
Relação com o centro de massa — uma equação útil em provas:
Defina posição do centro de massa
Defina posição do centro de massa
onde
é a massa total. Diferenciando duas vezes e usando o resultado do Passo 7 obtém-se
Isto é prático: a aceleração do centro de massa é dada pela resultante das forças externas dividida pela massa total. Em provas, se a resultante externa é zero, o centro de massa não acelera e o momento total é constante.
Passo 11
Dicas rápidas para a prova (como checar conservação do momento sem erro):
- Identifique o sistema claramente.
- Liste todas as forças e classifique em internas/externas.
- Verifique se a soma vetorial das forças externas é zero. Se for, momentum total é conservado.
- Lembre-se de que choques e interações internas (mesmo muito fortes) não mudam a soma total se a terceira lei valer.
- Se houver campos (eletromagnetismo, radiação) pense em incluir o momento do campo no balanço.
Resposta
Diferenças: Forças internas são as forças que partículas do próprio sistema exercem umas sobre as outras (
); forças externas vêm de agentes fora do sistema (
). Forças internas aparecem em pares entre partículas enquanto forças externas não têm esse pareamento.
Papel na conservação do momento linear: A derivada do momento total satisfaz . Assim, as forças internas (quando obedecem
) se cancelam na soma e não alteram
; portanto, se
o momento linear total é conservado.
Papel na conservação do momento linear: A derivada do momento total satisfaz