Em uma certa região do espaço temos dois candidatos para um campo eletrostático: e . [Não se preocupe com as unidades físicas.]
Calcule a divergência e o rotacional de cada um destes campos.
Passo 1
Beleza, aqui o exercício pede pra gente trabalhar com dois campos vetoriais e calcular a divergência e o rotacional de cada um. Isso é conteúdo de cálculo vetorial (ondas de vector calculus), onde a gente usa os operadores ∇· (para divergência) e ∇× (para rotacional). Vamos precisar lembrar das definições:
Divergência: .
Rotacional: .
Passo 2
Primeiro campo: nablacdot E1 = partial (2y)partial x + partial (4x)partial y + partial (z)partial z = 0 + 4 + 1 = 5 .
Divergência de :
Aqui usei que porque é independente de , e .
Passo 3
Agora o rotacional de nablatimes E1 = imath & jmath & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2y & 4x & z :
nablatimes E1 = 0,imath + 0,jmath + 2,k = 2,k
Isso dá, coordenada a coordenada:
Componente : .
Componente : , mas lembre que no determinante esse termo vem com sinal negativo, fica .
Componente : .
Logo,
Passo 4
Segundo campo: nablacdot E2 = partial (2y)partial x + partial (2x)partial y + partial (z)partial z = 0 + 2 + 1 = 3 .
Divergência de :
Passo 5
Rotacional de nablatimes E2 = imath & jmath & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2y & 2x & z :