Em uma certa região do espaço temos dois candidatos para um campo eletrostático: E1= 2 y x+4 x y+z z e E2=2 y x+2 x y+z z. [Não se preocupe com as unidades físicas.]
Calcule a divergência e o rotacional de cada um destes campos.

Passo 1

Beleza, aqui o exercício pede pra gente trabalhar com dois campos vetoriais e calcular a divergência e o rotacional de cada um. Isso é conteúdo de cálculo vetorial (ondas de vector calculus), onde a gente usa os operadores ∇· (para divergência) e ∇× (para rotacional). Vamos precisar lembrar das definições:
  • Divergência: imath & jmath & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z Ex & Ey & Ez .
  • Rotacional: .

Passo 2

Primeiro campo: nablacdot E1 = partial (2y)partial x + partial (4x)partial y + partial (z)partial z = 0 + 4 + 1 = 5 .
Divergência de :
Aqui usei que porque é independente de , e .

Passo 3

Agora o rotacional de nablatimes E1 = imath & jmath & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2y & 4x & z :
nablatimes E1 = 0,imath + 0,jmath + 2,k = 2,k
Isso dá, coordenada a coordenada:
  • Componente : .
  • Componente : , mas lembre que no determinante esse termo vem com sinal negativo, fica .
  • Componente : .
Logo,

Passo 4

Segundo campo: nablacdot E2 = partial (2y)partial x + partial (2x)partial y + partial (z)partial z = 0 + 2 + 1 = 3 .
Divergência de :

Passo 5

Rotacional de nablatimes E2 = imath & jmath & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2y & 2x & z :
nablatimes E2 = 0
Fazendo igualzinho antes:
  • -componente: .
  • -componente: , com sinal negativo continua 0.
  • -componente: .
Assim,

Resposta

Divergência e rotacional dos campos são:

Exercícios relacionados