Um cilindro infinito de seção circular de raio conduz uma corrente volumétrica ao longo de seu eixo, onde é a distância de um ponto ao eixo do cilindro. Para a corrente é zero.
Verifique que essa solução satisfaz às equações de Maxwell em sua forma diferencial.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro infinito de raio com densidade de corrente volumétrica
e a gente quer mostrar que isso “fecha” direitinho nas equações de Maxwell em forma diferencial, ou seja:
1) na magnetostática, ∇·B=0 e ∇×B=μ₀J,
2) a continuidade de carga ∇·J=0 (como não há variação de carga no tempo).
O que vamos usar:
- Operadores ∇· e ∇× em coordenadas cilíndricas;
- Lei de Ampère (forma integral) pra achar B;
- Cálculos de divergente e rotacional pra checar as eqns diferenciais.
Passo 2
Primeiro, confere a continuidade de carga (equação de Maxwell ∇·J=0).
Em cilíndricas,
Como e não depende de ,
Logo, ∇·J=0, beleza: nenhuma “fonte” de carga aparecendo.
Passo 3
Agora, achamos o campo magnético usando a lei de Ampère (integral):
Para um raio , pego um caminho circular de raio no plano ⟂ ao eixo.
Para , toda corrente está contida em , então a integral dá fixo e
Passo 4
Verificamos ∇·B=0. Em cilíndricas, se só existe componente ,
Passo 5
Agora o curl de B: em cilíndricas só a componente sobrevive,
Para r<= R dá
1rl(mu0 k,r^2r)=mu0 k,r=mu0 Jz(r),
e para r>R dá zero, que bate com J=0. As componentes r e phi do rotacional também são zero.
Resposta
A densidade de corrente dada satisfaz a continuidade de carga (∇·J=0) e gera um campo magnético
Bphi(r)=dfracmu0 k,r^23,&r<= R,[4pt]dfracmu0 k,R^33,r,&r>R,
que satisfaz ∇·B=0 e ∇×B=μ₀J. Portanto, todas as equações de Maxwell em forma diferencial são satisfeitas.