Um cilindro infinito de seção circular de raio R conduz uma corrente volumétrica J=k r z ao longo de seu eixo, onde r é a distância de um ponto ao eixo do cilindro. Para r>R a corrente é zero.
Verifique que essa solução satisfaz às equações de Maxwell em sua forma diferencial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro infinito de raio R com densidade de corrente volumétrica
vec J(r)=k,r,hat z,&r<= R,0,&r>R,
e a gente quer mostrar que isso “fecha” direitinho nas equações de Maxwell em forma diferencial, ou seja:
1) na magnetostática, ∇·B=0 e ∇×B=μ₀J,
2) a continuidade de carga ∇·J=0 (como não há variação de carga no tempo).
O que vamos usar:
- Operadores ∇· e ∇× em coordenadas cilíndricas;
- Lei de Ampère (forma integral) pra achar B;
- Cálculos de divergente e rotacional pra checar as eqns diferenciais.

Passo 2

Primeiro, confere a continuidade de carga (equação de Maxwell ∇·J=0).
Em cilíndricas,
nablacdotvec J=1rpartial(rJr)partial r+1rpartial Jphipartialphi+partial Jzpartial z
Como Jr=Jphi=0 e Jz=k,r não depende de z,
nablacdotvec J=partial(k,r)partial z=0
Logo, ∇·J=0, beleza: nenhuma “fonte” de carga aparecendo.

Passo 3

Agora, achamos o campo magnético usando a lei de Ampère (integral):
Para um raio r<= R, pego um caminho circular de raio r no plano ⟂ ao eixo.
$$\oint\vec B\cdot d\vec\ell=2\pi r,B_\phi®=\mu_0\int_0^r J_z(r’),2\pi r’,dr’
=\mu_0,2\pi k\int_0^r r’^2dr’=\mu_0,2\pi k\frac{r^3}{3}. ointvec Bcdot dvecell=2pi r,Bphi(r)=mu0integral0^r Jz(r'),2pi r',dr' =mu0,2pi kintegral0^r r'^2dr'=mu0,2pi kr^33ãB_\phi®=\frac{\mu_0 k,r^2}{3},\qquad(r\le R).$$
Para Bphi(r)=mu0 k,r^23,(r<= R), toda corrente está contida em r>R, então a integral dá r<= R fixo e
mu0,2pi k,R^3/3

Passo 4

Verificamos ∇·B=0. Em cilíndricas, se só existe componente Bphi(r),
nablacdotvec B=1rpartialpartial r(r,Br)+1rpartial Bphipartialphi+partial Bzpartial z=0+0+0=0

Passo 5

Agora o curl de B: em cilíndricas só a componente z sobrevive,
(nablatimesvec B)z =1rpartialpartial rl(r,Bphi(r)r) =1rpartialpartial r rmu0 k,r^23=mu0 kr^33&(r<= R)[6pt] rmu0 k,R^33r=mu0 kR^33&(r>R)
Para r<= R
1rl(mu0 k,r^2r)=mu0 k,r=mu0 Jz(r),
e para r>R dá zero, que bate com J=0. As componentes r e phi do rotacional também são zero.

Resposta

A densidade de corrente dada satisfaz a continuidade de carga (∇·J=0) e gera um campo magnético
Bphi(r)=dfracmu0 k,r^23,&r<= R,[4pt]dfracmu0 k,R^33,r,&r>R,
que satisfaz ∇·B=0 e ∇×B=μ₀J. Portanto, todas as equações de Maxwell em forma diferencial são satisfeitas.

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