Em uma certa região do espaço temos dois candidatos para um campo eletrostático: E1= 2 y x+4 x y+z z e E2=2 y x+2 x y+z z. [Não se preocupe com as unidades físicas.]
Usando o resultado do item anterior, decida qual dos dois campos pode descrever o campo eletrostático nesta região do espaço. Denote este campo por E. Encontre o potencial phi(x, y, z) para este campo.

Passo 1

Beleza, tamo com dois candidatos de campo elétrico na mão:
e
.
Como o campo eletrostático é conservativo, a gente precisa checar qual deles tem ∇×E=0. Depois, com o certo em mãos, achar o potencial via .

Passo 2

Vamos lembrar a definição de rotacional (curl) em componentes:
(nabla times E)x = partial Ezpartial y - partial Eypartial z, (nabla times E)y = partial Expartial z - partial Ezpartial x, (nabla times E)z = partial Eypartial x - partial Expartial y
Agora, para (nablatimesE1)x = partial zpartial y-partial(4x)partial z=0-0=0, :
E₁ₓ=2y, E₁ᵧ=4x, E₁_z=z.
(nablatimesE1)y = partial(2y)partial z-partial zpartial x=0-0=0,
(nablatimesE1)z = partial(4x)partial x-partial(2y)partial y=4-2=2neq0
Ou seja, , então não é eletrostático.

Passo 3

Agora faz o mesmo em (nablatimesE2)x = partial zpartial y-partial(2x)partial z=0-0=0, :
E₂ₓ=2y, E₂ᵧ=2x, E₂_z=z.
(nablatimesE2)y = partial(2y)partial z-partial zpartial x=0-0=0,
(nablatimesE2)z = partial(2x)partial x-partial(2y)partial y=2-2=0
Aqui deu tudo zero, então é conservativo e serve como campo eletrostático.

Passo 4

Sabendo que Ex = -partialphipartial x = 2y, Ey = -partialphipartial y = 2x, Ez = -partialphipartial z = z e que , escrevemos em componentes:
Agora integramos passo a passo.

Passo 5

  1. Daqui , vem
  2. Diferenciando em :
    .
    Mas a gente sabe que isso deve ser , logo . Então só depende de .
  3. Por fim,

Resposta

boxedphi(x,y,z) = -2xy - z^22 + C
e o potencial

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