Em uma certa região do espaço temos dois candidatos para um campo eletrostático: E1= 2 y x+4 x y+z z e E2=2 y x+2 x y+z z. [Não se preocupe com as unidades físicas.]
Qual é a densidade de carga elétrica na região do espaço na qual existe o campo E? Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície de uma esfera de raio R que está totalmente contida nesta região do espaço.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas “possíveis” configurações de campo elétrico numa região do espaço:
vec E1 = 2,y,hat x ;+;4,x,hat y;+;z,hat z e vec E2 = 2,y,hat x ;+;2,x,hat y;+;z,hat z
E quer saber duas coisas:
  1. Qual é a densidade de carga elétrica nessa região (ou seja, qual carga gera esse campo).
  2. Qual é o fluxo desse campo pela superfície de uma esfera de raio que esteja totalmente dentro dessa região.
Conteúdo da matéria:
  • Condição para um campo ser eletrostático ( ∇×E = 0 ).
  • Lei de Gauss em forma diferencial: .
  • Teorema da divergência (ou forma integral da Lei de Gauss) para calcular fluxo.
O que vamos precisar:
a) Verificar qual dos dois campos é mesmo “eletrostático” (além de encontrar a densidade).
b) Calcular divergência e usar .
c) Usar o teorema da divergência para achar o fluxo pela esfera.

Passo 2

Antes de tudo, um campo eletrostático tem de ser conservativo, ou seja, ter curl (rotacional) zero:
nablatimesvec E = 0
Vamos conferir rapidamente:
  • Para :
    .
  • Para :
    .
satisfaz , logo esse é o campo eletrostático que serve para aplicação da Lei de Gauss.

Passo 3

Agora vamos achar a densidade de carga usando a forma diferencial da Lei de Gauss:
nablacdotvec E ;=;rhovarepsilon0 Longrightarrow rho ;=;varepsilon0,nablacdotvec E
Para nablacdotvec E2 = partialpartial x(2y) + partialpartial y(2x) + partialpartial z(z) = 0 + 0 + 1 = 1 :
rho = varepsilon0 times 1 = varepsilon0
Então
Isto significa que há uma densidade de carga elétrica constante (uniforme) igual a .

Passo 4

Por fim, o fluxo do campo elétrico pela superfície da esfera de raio Phi =integral dupla!Svec Ecdot dvec A =integral tripla!V(nablacdotvec E),dV . Pela forma integral da Lei de Gauss ou Teorema da Divergência:
Phi = integralV 1;dV = tfrac43pi R^3
Como em todo o volume, o fluxo é só o volume da esfera multiplicado por 1:

Resposta

Densidade de carga:
rho = varepsilon0
Fluxo através da esfera de raio Phi = 43,pi,R^3 :

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