Em uma certa região do espaço temos dois candidatos para um campo eletrostático:
e
. [Não se preocupe com as unidades físicas.]
Qual é a densidade de carga elétrica na região do espaço na qual existe o campo
? Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície de uma esfera de raio
que está totalmente contida nesta região do espaço.
Qual é a densidade de carga elétrica na região do espaço na qual existe o campo
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas “possíveis” configurações de campo elétrico numa região do espaço:
E quer saber duas coisas:
- Qual é a densidade de carga elétrica nessa região (ou seja, qual carga gera esse campo).
- Qual é o fluxo desse campo pela superfície de uma esfera de raio
que esteja totalmente dentro dessa região.
Conteúdo da matéria:
- Condição para um campo ser eletrostático ( ∇×E = 0 ).
- Lei de Gauss em forma diferencial:
. - Teorema da divergência (ou forma integral da Lei de Gauss) para calcular fluxo.
O que vamos precisar:
a) Verificar qual dos dois campos é mesmo “eletrostático” (além de encontrar a densidade).
b) Calcular divergência e usar .
c) Usar o teorema da divergência para achar o fluxo pela esfera.
a) Verificar qual dos dois campos é mesmo “eletrostático” (além de encontrar a densidade).
b) Calcular divergência e usar
c) Usar o teorema da divergência para achar o fluxo pela esfera.
Passo 2
Antes de tudo, um campo eletrostático tem de ser conservativo, ou seja, ter curl (rotacional) zero:
Vamos conferir rapidamente:
- Para
:
. - Para
:
.
Só
satisfaz
, logo esse é o campo eletrostático que serve para aplicação da Lei de Gauss.
Passo 3
Agora vamos achar a densidade de carga usando a forma diferencial da Lei de Gauss:
Para
:
Então
Isto significa que há uma densidade de carga elétrica constante (uniforme) igual a
.
Passo 4
Por fim, o fluxo do campo elétrico pela superfície da esfera de raio
. Pela forma integral da Lei de Gauss ou Teorema da Divergência:
Como
em todo o volume, o fluxo é só o volume da esfera multiplicado por 1:
Resposta
Densidade de carga:
Fluxo através da esfera de raio
: