Considere uma casca cilíndrica infinita, de seção circular com raio R. Por simplicidade, suponha que o eixo z coincide com o eixo da casca. Esta casca possui uma densidade de carga superficial uniforme sigma.
Tomando o potencial no eixo z como sendo 0, calcule o potencial elétrico em todo o espaço. Você saberia explicar por que não podemos tomar o potencial elétrico como sendo zero no infinito?

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente achar o potencial elétrico de uma casca cilíndrica infinita de raio R com densidade de carga superficial uniforme sigma. O eixo z da casca é também nosso eixo de simetria. A gente vai usar:
  1. Lei de Gauss para achar o campo elétrico E(r) em função da distância radial r.
  2. A definição de potencial elétrico V(b)-V(a) = -integrala^b vec Ecdot dvec ell
    e o fato de que o exercício manda “tomar o potencial no eixo z (ou seja, em r=0) como zero”.

Passo 2

Primeiro, usamos a simetria cilíndrica na Lei de Gauss para determinar E(r). Vamos considerar dois casos:
  • Para r (dentro da casca): a superfície de Gauss de raio r não “abraça” carga alguma, então$$\Phi = E®,(2\pi r L) = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0} = 0\quad\Longrightarrow\quad E®=0,. Phi = E(r),(2pi r L) = Qrm intvarepsilon0 = 0 Longrightarrow E(r)=0, íE®,(2\pi r L) = \frac{\sigma,2\pi R L}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quadE® = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0,r},\hat r,. $$

Passo 3

Agora que temos E(r), a gente obtém V(r) pelo integral
V(r)-V(rrm ref) = -integralrrm ref^rE(r'),dr',
O enunciado manda adotar V(0)=0. Como E(r)=0 para r, isso já faz V(r)=0 dentro da casca (todo r). Em particular
V(R)=0,

Passo 4

Para r>R, integramos de R até r:
V(r)-V(R) = -integralR^r sigma Rvarepsilon0,r',dr' = -sigma Rvarepsilon0l[ln r'r]R^r = -sigma Rvarepsilon0l(ln r-ln Rr) = sigma Rvarepsilon0ln!Rr,
Como V(R)=0, temos
$$V® = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\ln!\frac{R}{r}
\quad(\,r\ge R\,)\,. $$

Passo 5

Por que não dá pra escolher V(infty)=0? Simples: o campo cai como 1/r, e o integral
integral^ infty drr
diverge (logaritmo vai para infinito). Isso faz o potencial “correr” indefinidamente, sem chegar a um valor finito no infinito. Então não faz sentido definir V(infty)=0 neste problema.

Resposta

V® =
0,, & r < R, dfracsigma Rvarepsilon0,ln!dfracRr,, & r >= R
E não podemos pôr V(infty)=0 porque o potencial logaritmo-diverge quando rtoinfty,.

Exercícios relacionados