Considere uma casca cilíndrica infinita, de seção circular com raio . Por simplicidade, suponha que o eixo coincide com o eixo da casca. Esta casca possui uma densidade de carga superficial uniforme .
Tomando o potencial no eixo como sendo 0, calcule o potencial elétrico em todo o espaço. Você saberia explicar por que não podemos tomar o potencial elétrico como sendo zero no infinito?
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente achar o potencial elétrico de uma casca cilíndrica infinita de raio com densidade de carga superficial uniforme . O eixo da casca é também nosso eixo de simetria. A gente vai usar:
Lei de Gauss para achar o campo elétrico em função da distância radial .
A definição de potencial elétrico
e o fato de que o exercício manda “tomar o potencial no eixo (ou seja, em ) como zero”.
Passo 2
Primeiro, usamos a simetria cilíndrica na Lei de Gauss para determinar . Vamos considerar dois casos:
Para (dentro da casca): a superfície de Gauss de raio não “abraça” carga alguma, então$$\Phi = E®,(2\pi r L) = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0} = 0\quad\Longrightarrow\quad E®=0,. E®,(2\pi r L) = \frac{\sigma,2\pi R L}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quadE® = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0,r},\hat r,. $$
Passo 3
Agora que temos , a gente obtém pelo integral
O enunciado manda adotar . Como para , isso já faz dentro da casca (todo ). Em particular
Por que não dá pra escolher ? Simples: o campo cai como , e o integral
diverge (logaritmo vai para infinito). Isso faz o potencial “correr” indefinidamente, sem chegar a um valor finito no infinito. Então não faz sentido definir neste problema.
Resposta
V® =
E não podemos pôr V(infty)=0 porque o potencial logaritmo-diverge quando rtoinfty,.