Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis:
f(y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{40} y, & 4 \leq y \leq 8 ; \\\\ -\frac{1}{20} y+\frac{3}{5}, & 8 \leq y \leq 10 ; \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leq y \leq 11 ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade (pdf) f(y) definida por partes:
f(y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{40} y, & 4 \leq y \leq 8 ; \\\\ -\frac{1}{20} y+\frac{3}{5}, & 8 \leq y \leq 10 ; \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leq y \leq 11 ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
Como o enunciado não especifica uma única tarefa, vou resolver as questões que costumam ser pedidas para esse tipo de pdf e que são úteis na prova:
  • Verificar que f é de fato uma pdf (integral total igual a 1).
  • Obter a função de distribuição acumulada F(y)=P(Y\le y) para todo y.
  • Calcular exemplos de probabilidades: P(6<Y\le9) e P(Y\ge 10{,}5).
  • Calcular a esperança \mathbb{E}(Y) e a variância \operatorname{Var}(Y).
  • Encontrar a mediana e o modo da distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra para verificar uma pdf: a função f é pdf se
  1. f(y)\ge 0 para todo y (aqui é óbvio pelas expressões dadas nos intervalos), e
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y)\,dy = 1.
Vamos calcular a integral por partes (cada intervalo separadamente).
Integral em [4,8]:
\int_{4}^{8} \frac{1}{40}y\,dy=\frac{1}{40}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{4}^{8} =\frac{1}{40}\left(\frac{8^{2}}{2}-\frac{4^{2}}{2}\right) =\frac{1}{40}\left(\frac{64-16}{2}\right) =\frac{24}{40}=\frac{3}{5}.
Integral em [8,10]:
\int_{8}^{10}\left(-\frac{1}{20}y+\frac{3}{5}\right)dy =\left[-\frac{1}{40}y^{2}+\frac{3}{5}y\right]_{8}^{10}.
Avaliaremos:
\left(-\frac{1}{40}\cdot 10^{2}+\frac{3}{5}\cdot 10\right)-\left(-\frac{1}{40}\cdot 8^{2}+\frac{3}{5}\cdot 8\right) =\left(-\frac{100}{40}+6\right)-\left(-\frac{64}{40}+ \frac{24}{5}\right).
Convertendo e simplificando obtemos
= \frac{3}{10}.
Integral em [10,11]:
\int_{10}^{11}\frac{1}{10}\,dy=\frac{1}{10}(11-10)=\frac{1}{10}.
Somando as três partes:
\frac{3}{5}+\frac{3}{10}+\frac{1}{10}= \frac{6}{10}+\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=1.
Portanto a função está corretamente normalizada: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y)\,dy=1.

Passo 3

Agora vamos construir a função de distribuição acumulada F(y)=P(Y\le y)=\int_{-\infty}^{y} f(t)\,dt. A pdf é nula fora de [4,11], então:
Para y<4:
F(y)=0.
Para 4\le y\le 8, integramos desde 4 até y a expressão \tfrac{1}{40}t:
F(y)=\int_{4}^{y}\frac{1}{40}t\,dt=\frac{1}{40}\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{4}^{y} =\frac{y^{2}-16}{80}.
Checagem rápida: para y=8,
F(8)=\frac{8^{2}-16}{80}=\frac{64-16}{80}=\frac{48}{80}=\frac{3}{5},
coerente com a integral do Passo 2.
Para 8\le y\le 10, somamos F(8)=\tfrac{3}{5} com a integral de 8 até y da segunda expressão:
F(y)=\frac{3}{5}+\int_{8}^{y}\left(-\frac{1}{20}t+\frac{3}{5}\right)dt =\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{40}t^{2}+\frac{3}{5}t\right)\Bigg|_{8}^{y}.
Subtraindo o valor em 8 (que é \,-\frac{1}{40}\cdot 8^{2}+\frac{3}{5}\cdot 8=\frac{16}{5}), obtemos, após simplificar,
F(y)=-\frac{1}{40}y^{2}+\frac{3}{5}y-\frac{13}{5}.
(Confirme em y=8 e em y=10: F(8)=3/5, F(10)=9/10.)
Para 10\le y\le 11, usamos F(10)=\tfrac{9}{10} e somamos a integral da última parte:
F(y)=\frac{9}{10}+\int_{10}^{y}\frac{1}{10}\,dt=\frac{9}{10}+\frac{y-10}{10}=\frac{y-1}{10}.
Para y>11:
F(y)=1.
Resumo (função F por partes):
F(y)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & y<4,\\[4pt] \displaystyle \frac{y^{2}-16}{80}, & 4\le y\le 8,\\[6pt] \displaystyle -\frac{1}{40}y^{2}+\frac{3}{5}y-\frac{13}{5}, & 8\le y\le 10,\\[6pt] \displaystyle \frac{y-1}{10}, & 10\le y\le 11,\\[4pt] 1, & y>11. \end{array}\right.]

Passo 4

Exemplos de probabilidades usando F.
a) P(6<Y\le 9)=F(9)-F(6).
Calculamos F(6) usando a expressão para 4\le y\le 8:
F(6)=\frac{6^{2}-16}{80}=\frac{36-16}{80}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}.
Calculamos F(9) usando a expressão para 8\le y\le 10:
F(9)=-\frac{1}{40}\cdot 9^{2}+\frac{3}{5}\cdot 9-\frac{13}{5} =-\frac{81}{40}+\frac{27}{5}-\frac{13}{5} =-\frac{81}{40}+\frac{14}{5} =-\frac{81}{40}+\frac{112}{40}=\frac{31}{40}.
Portanto
P(6<Y\le 9)=\frac{31}{40}-\frac{1}{4}=\frac{31}{40}-\frac{10}{40}=\frac{21}{40}=0{,}525.
b) P(Y\ge 10{,}5)=1-F(10{,}5). Para y=10{,}5 usamos a fórmula \dfrac{y-1}{10} (porque 10\le y\le 11):
F(10{,}5)=\frac{10{,}5-1}{10}=\frac{9{,}5}{10}=\frac{19}{20}.
Logo
P(Y\ge 10{,}5)=1-\frac{19}{20}=\frac{1}{20}=0{,}05.

Passo 5

Agora vamos calcular a esperança \mathbb{E}(Y). A definição para variável contínua é
\mathbb{E}(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} y f(y)\,dy,
que calculamos somando as integrais em cada intervalo.
  1. Em [4,8]:
\int_{4}^{8} y\cdot\frac{1}{40}y\,dy=\int_{4}^{8}\frac{1}{40}y^{2}\,dy =\frac{1}{40}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{4}^{8} =\frac{1}{120}\left(8^{3}-4^{3}\right) =\frac{448}{120}=\frac{56}{15}.
  1. Em [8,10]:
\int_{8}^{10} y\left(-\frac{1}{20}y+\frac{3}{5}\right)dy =\int_{8}^{10}\left(-\frac{1}{20}y^{2}+\frac{3}{5}y\right)dy =\left(-\frac{1}{60}y^{3}+\frac{3}{10}y^{2}\right)\Bigg|_{8}^{10}.
Ao avaliar obtemos
\frac{8}{3}.
(Esse resultado saiu da subtração das avaliações em 10 e em 8.)
  1. Em [10,11]:
\int_{10}^{11} y\cdot\frac{1}{10}\,dy=\frac{1}{10}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{10}^{11}=\frac{1}{20}(121-100)=\frac{21}{20}.
Somando as três contribuições:
\mathbb{E}(Y)=\frac{56}{15}+\frac{8}{3}+\frac{21}{20}.
Colocando em denominador comum 60:
\mathbb{E}(Y)=\frac{224}{60}+\frac{160}{60}+\frac{63}{60}=\frac{447}{60}=\frac{149}{20}=7{,}45.

Passo 6

Para a variância precisamos de \mathbb{E}(Y^{2}) e então usar
\operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}(Y^{2})-[\mathbb{E}(Y)]^{2}.
Calculemos \mathbb{E}(Y^{2})=\int y^{2}f(y)\,dy por partes:
  1. Em [4,8]:
\int_{4}^{8} y^{2}\cdot\frac{1}{40}y\,dy=\int_{4}^{8}\frac{1}{40}y^{3}\,dy =\frac{1}{40}\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{4}^{8} =\frac{1}{160}\left(8^{4}-4^{4}\right) =\frac{3840}{160}=24.
  1. Em [8,10]:
\int_{8}^{10} y^{2}\left(-\frac{1}{20}y+\frac{3}{5}\right)dy =\int_{8}^{10}\left(-\frac{1}{20}y^{3}+\frac{3}{5}y^{2}\right)dy =\left(-\frac{1}{80}y^{4}+\frac{1}{5}y^{3}\right)\Bigg|_{8}^{10}.
Ao avaliar, obtemos
\frac{119}{5}.
  1. Em [10,11]:
\int_{10}^{11} y^{2}\cdot\frac{1}{10}\,dy=\frac{1}{10}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{10}^{11}=\frac{331}{30}.
Somando:
\mathbb{E}(Y^{2})=24+\frac{119}{5}+\frac{331}{30}=\frac{1765}{30}=\frac{353}{6}\approx 58{,}833333.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(Y)=\frac{353}{6}-\left(\frac{149}{20}\right)^{2}.
Calculando a subtração obtemos, em fração:
\operatorname{Var}(Y)=\frac{3997}{1200}\approx 3{,}3308333.
Desvio padrão:
\sigma_{Y}=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}\approx 1{,}824.

Passo 7

Mediana m: é o valor que satisfaz F(m)=\tfrac{1}{2}. Observamos que F(6)=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2} e F(8)=\tfrac{3}{5}>\tfrac{1}{2}, logo a mediana está no intervalo [4,8], onde
F(y)=\frac{y^{2}-16}{80}.
Resolva \dfrac{y^{2}-16}{80}=\dfrac{1}{2}:
y^{2}-16=40\quad\Rightarrow\quad y^{2}=56\quad\Rightarrow\quad y=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\approx 7{,}4833.
Como queremos m em [4,8], tomamos o valor positivo m=2\sqrt{14}.

Passo 8

Modo: o modo é o(s) ponto(s) onde f(y) é máximo. Observando f(y):
  • em [4,8] temos f(y)=\tfrac{1}{40}y, que é crescente em y;
  • em [8,10] temos uma função linear decrescente -\tfrac{1}{20}y+\tfrac{3}{5};
  • em [10,11] é constante \tfrac{1}{10}.
O valor máximo ocorre em y=8, onde f(8)=\tfrac{1}{5}=0{,}2. Portanto o modo é y=8 (único).

Resposta

A função é uma pdf válida (integral total =1).
CDF:
F(y)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & y<4,\\[4pt] \displaystyle \frac{y^{2}-16}{80}, & 4\le y\le 8,\\[6pt] \displaystyle -\frac{1}{40}y^{2}+\frac{3}{5}y-\frac{13}{5}, & 8\le y\le 10,\\[6pt] \displaystyle \frac{y-1}{10}, & 10\le y\le 11,\\[4pt] 1, & y>11. \end{array}\right.
P(6<Y\le 9)=\dfrac{21}{40}=0{,}525.
P(Y\ge 10{,}5)=\dfrac{1}{20}=0{,}05.
\mathbb{E}(Y)=\dfrac{149}{20}=7{,}45.
\operatorname{Var}(Y)=\dfrac{3997}{1200}\approx 3{,}3308333 (desvio padrão \approx 1{,}824).
Mediana m=2\sqrt{14}\approx 7{,}4833.
Modo =8.]

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