Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis:
f(y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{40} y, & 4 \leq y \leq 8 ; \\\\ -\frac{1}{20} y+\frac{3}{5}, & 8 \leq y \leq 10 ; \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leq y \leq 11 ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade (pdf) f(y) definida por partes:
f(y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{40} y, & 4 \leq y \leq 8 ; \\\\ -\frac{1}{20} y+\frac{3}{5}, & 8 \leq y \leq 10 ; \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leq y \leq 11 ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
Como o enunciado não especifica uma única tarefa, vou resolver as questões que costumam ser pedidas para esse tipo de pdf e que são úteis na prova:
Verificar que f é de fato uma pdf (integral total igual a 1).
Obter a função de distribuição acumulada F(y)=P(Y\le y) para todo y.
Calcular exemplos de probabilidades: P(6<Y\le9) e P(Y\ge 10{,}5).
Calcular a esperança \mathbb{E}(Y) e a variância \operatorname{Var}(Y).
Encontrar a mediana e o modo da distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra para verificar uma pdf: a função f é pdf se
f(y)\ge 0 para todo y (aqui é óbvio pelas expressões dadas nos intervalos), e
Mediana m: é o valor que satisfaz F(m)=\tfrac{1}{2}. Observamos que F(6)=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2} e F(8)=\tfrac{3}{5}>\tfrac{1}{2}, logo a mediana está no intervalo [4,8], onde