A função conjunta de probabilidade entre as variáveis X e Y é apresentada abaixo, mas com algumas entradas faltando:
X \backslash Y -1 0 2 4 P(X=x)
-2 3 / 64 1 / 32 5 / 16
-1 1 / 16 1 / 16 0
1 1 / 64 11 / 64 1 / 64 5 / 16
2 5 / 64 3 / 64 1 / 32
P(Y=y) 5 / 16 1 / 4 1

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com a função de massa de probabilidade conjunta p_{X,Y}(x,y) para X\in\{-2,-1,1,2\} e Y\in\{-1,0,2,4\}, com algumas entradas faltando. As informações fornecidas são:
  • Entradas conhecidas (copiadas da tabela): \begin{aligned} p(-2,0)&=\tfrac{3}{64}, & p(-2,2)&=\tfrac{1}{32},\\\ p(-1,-1)&=\tfrac{1}{16}, & p(-1,0)&=\tfrac{1}{16}, & p(-1,2)&=0,\\\ p(1,-1)&=\tfrac{1}{64}, & p(1,0)&=\tfrac{11}{64}, & p(1,4)&=\tfrac{1}{64},\\\ p(2,-1)&=\tfrac{5}{64}, & p(2,2)&=\tfrac{3}{64}, & p(2,4)&=\tfrac{1}{32}. \end{aligned}
  • Algumas marginais por linha/coluna: P(X=-2)=\tfrac{5}{16},\qquad P(X=1)=\tfrac{5}{16},
P(Y=0)=\tfrac{5}{16},\qquad P(Y=4)=\tfrac{1}{4}.
  • Pergunta implícita: completar as entradas faltantes da tabela (ou seja, encontrar os valores de p(x,y) que não foram dados) e obter as marginais ausentes.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): “marginalização” e conservação da probabilidade.
  • A relação básica entre a conjunta e as marginais é P(X=x)=\sum_{y} p(x,y),\qquad P(Y=y)=\sum_{x} p(x,y).Isso significa: a probabilidade de uma linha é a soma das células dessa linha; a probabilidade de uma coluna é a soma das células dessa coluna.
  • Além disso, a soma de todas as probabilidades da tabela deve ser 1: \sum_x\sum_y p(x,y)=1.
Essas relações vão permitir resolver as células faltantes montando equações simples.

Passo 3

Estratégia prática: trabalhar com denominador comum para facilitar soma/subtração. Observando os valores dados, todos podem ser convertidos para denominador 64 (pois 1/16=4/64, 1/32=2/64, 1/4=16/64, 5/16=20/64). Vou reescrever os valores conhecidos em /64:
\begin{aligned} p(-2,0)&=\tfrac{3}{64}, & p(-2,2)&=\tfrac{2}{64},\\\ p(-1,-1)&=\tfrac{4}{64}, & p(-1,0)&=\tfrac{4}{64}, & p(-1,2)&=0,\\\ p(1,-1)&=\tfrac{1}{64}, & p(1,0)&=\tfrac{11}{64}, & p(1,4)&=\tfrac{1}{64},\\\ p(2,-1)&=\tfrac{5}{64}, & p(2,2)&=\tfrac{3}{64}, & p(2,4)&=\tfrac{2}{64}. \end{aligned}
E as marginais conhecidas:
P(X=-2)=\tfrac{5}{16}=\tfrac{20}{64},\qquad P(X=1)=\tfrac{20}{64},
P(Y=0)=\tfrac{5}{16}=\tfrac{20}{64},\qquad P(Y=4)=\tfrac{1}{4}=\tfrac{16}{64}.

Passo 4

Começo preenchendo células faltantes com equações de soma por linha ou coluna.
  1. Linha X=1: sabemos P(X=1)=\tfrac{20}{64}. Somando as células conhecidas da linha:
p(1,-1)+p(1,0)+p(1,2)+p(1,4)=\tfrac{20}{64}.
Substituindo os conhecidos:
\tfrac{1}{64}+\tfrac{11}{64}+p(1,2)+\tfrac{1}{64}=\tfrac{20}{64}.
Somando os termos conhecidos: \tfrac{1+11+1}{64}=\tfrac{13}{64}. Então
p(1,2)=\tfrac{20-13}{64}=\tfrac{7}{64}.
(Interpretação didática: tiramos da margem da linha o que já está preenchido; o que sobra é o que falta.)

Passo 5

  1. Coluna Y=0: sabemos P(Y=0)=\tfrac{20}{64}. Somando as células conhecidas na coluna:
p(-2,0)+p(-1,0)+p(1,0)+p(2,0)=\tfrac{20}{64}.
Substituindo os conhecidos:
\tfrac{3}{64}+\tfrac{4}{64}+\tfrac{11}{64}+p(2,0)=\tfrac{20}{64}.
Somando os termos conhecidos: \tfrac{3+4+11}{64}=\tfrac{18}{64}. Então
p(2,0)=\tfrac{20-18}{64}=\tfrac{2}{64}=\tfrac{1}{32}.

Passo 6

  1. Agora que achamos p(2,0)=\tfrac{2}{64}, podemos obter P(X=2) somando a linha X=2:
P(X=2)=p(2,-1)+p(2,0)+p(2,2)+p(2,4).
Substituindo:
P(X=2)=\tfrac{5}{64}+\tfrac{2}{64}+\tfrac{3}{64}+\tfrac{2}{64}=\tfrac{12}{64}=\tfrac{3}{16}.

Passo 7

  1. Usando que a soma total das marginais P(X=x) é 1, deduzimos P(X=-1):
P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=1)+P(X=2)=1.
Substituindo os conhecidos em /64:
\tfrac{20}{64}+P(X=-1)+\tfrac{20}{64}+\tfrac{12}{64}=\tfrac{64}{64}.
Somando os três conhecidos: \tfrac{20+20+12}{64}=\tfrac{52}{64}. Logo
P(X=-1)=\tfrac{64-52}{64}=\tfrac{12}{64}=\tfrac{3}{16}.
Agora podemos completar a linha X=-1:
p(-1,-1)+p(-1,0)+p(-1,2)+p(-1,4)=P(X=-1)=\tfrac{12}{64}.
Substituindo os conhecidos:
\tfrac{4}{64}+\tfrac{4}{64}+0+p(-1,4)=\tfrac{12}{64}.
Logo
p(-1,4)=\tfrac{12-8}{64}=\tfrac{4}{64}=\tfrac{1}{16}.

Passo 8

  1. Finalmente, completar os dois valores faltantes da linha X=-2. Sabemos P(X=-2)=\tfrac{20}{64} e os valores conhecidos dessa linha somam \tfrac{3}{64}+\tfrac{2}{64}=\tfrac{5}{64}. Então a soma dos dois valores faltantes é
p(-2,-1)+p(-2,4)=\tfrac{20-5}{64}=\tfrac{15}{64}.
Mas já encontramos p(-1,4)=\tfrac{4}{64}, p(1,4)=\tfrac{1}{64}, p(2,4)=\tfrac{2}{64} e sabemos P(Y=4)=\tfrac{16}{64}. Usando a coluna Y=4:
p(-2,4)+p(-1,4)+p(1,4)+p(2,4)=\tfrac{16}{64}.
Substituindo os conhecidos:
p(-2,4)+\tfrac{4}{64}+\tfrac{1}{64}+\tfrac{2}{64}=\tfrac{16}{64}.
Somando os conhecidos da coluna: \tfrac{4+1+2}{64}=\tfrac{7}{64}. Então
p(-2,4)=\tfrac{16-7}{64}=\tfrac{9}{64}.
Com isso,
p(-2,-1)=\tfrac{15-9}{64}=\tfrac{6}{64}=\tfrac{3}{32}.

Passo 9

Verificações finais (checar consistência):
  • Coluna Y=-1: \tfrac{6}{64}+\tfrac{4}{64}+\tfrac{1}{64}+\tfrac{5}{64}=\tfrac{16}{64}=\tfrac{1}{4}.
  • Coluna Y=2: \tfrac{2}{64}+0+\tfrac{7}{64}+\tfrac{3}{64}=\tfrac{12}{64}=\tfrac{3}{16}.
  • Soma de todas as células = 64/64=1.
    Tudo fecha.

Resposta

p(-2,-1)=\tfrac{3}{32}
p(-2,0)=\tfrac{3}{64}
p(-2,2)=\tfrac{1}{32}
p(-2,4)=\tfrac{9}{64}
p(-1,-1)=\tfrac{1}{16}
p(-1,0)=\tfrac{1}{16}
p(-1,2)=0
p(-1,4)=\tfrac{1}{16}
p(1,-1)=\tfrac{1}{64}
p(1,0)=\tfrac{11}{64}
p(1,2)=\tfrac{7}{64}
p(1,4)=\tfrac{1}{64}
p(2,-1)=\tfrac{5}{64}
p(2,0)=\tfrac{1}{32}
p(2,2)=\tfrac{3}{64}
p(2,4)=\tfrac{1}{32}
P(X=-2)=\tfrac{5}{16}
P(X=-1)=\tfrac{3}{16}
P(X=1)=\tfrac{5}{16}
P(X=2)=\tfrac{3}{16}
P(Y=-1)=\tfrac{1}{4}
P(Y=0)=\tfrac{5}{16}
P(Y=2)=\tfrac{3}{16}
P(Y=4)=\tfrac{1}{4}

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