A função conjunta de probabilidade entre as variáveis
e
é apresentada abaixo, mas com algumas entradas faltando:
-1
0
2
4
-2
-1
0
1
2
1
|
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-1 | 0 | 2 | 4 |
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| -2 |
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| -1 |
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0 | ||
| 1 |
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| 2 |
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1 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com a função de massa de probabilidade conjunta
para
e
, com algumas entradas faltando. As informações fornecidas são:
- Entradas conhecidas (copiadas da tabela):
- Algumas marginais por linha/coluna:
- Pergunta implícita: completar as entradas faltantes da tabela (ou seja, encontrar os valores de
que não foram dados) e obter as marginais ausentes.
Passo 2
Conceito útil (aula rápida): “marginalização” e conservação da probabilidade.
- A relação básica entre a conjunta e as marginais é
Isso significa: a probabilidade de uma linha é a soma das células dessa linha; a probabilidade de uma coluna é a soma das células dessa coluna. - Além disso, a soma de todas as probabilidades da tabela deve ser
:
Essas relações vão permitir resolver as células faltantes montando equações simples.
Passo 3
Estratégia prática: trabalhar com denominador comum para facilitar soma/subtração. Observando os valores dados, todos podem ser convertidos para denominador
(pois
,
,
,
). Vou reescrever os valores conhecidos em /64:
E as marginais conhecidas:
Passo 4
Começo preenchendo células faltantes com equações de soma por linha ou coluna.
- Linha
: sabemos . Somando as células conhecidas da linha:
Substituindo os conhecidos:
Somando os termos conhecidos:
. Então
(Interpretação didática: tiramos da margem da linha o que já está preenchido; o que sobra é o que falta.)
Passo 5
- Coluna
: sabemos . Somando as células conhecidas na coluna:
Substituindo os conhecidos:
Somando os termos conhecidos:
. Então
Passo 6
- Agora que achamos
, podemos obter somando a linha :
Substituindo:
Passo 7
- Usando que a soma total das marginais
é , deduzimos :
Substituindo os conhecidos em /64:
Somando os três conhecidos:
. Logo
Agora podemos completar a linha
:
Substituindo os conhecidos:
Logo
Passo 8
- Finalmente, completar os dois valores faltantes da linha
. Sabemos e os valores conhecidos dessa linha somam . Então a soma dos dois valores faltantes é
Mas já encontramos
,
,
e sabemos
. Usando a coluna
:
Substituindo os conhecidos:
Somando os conhecidos da coluna:
. Então
Com isso,
Passo 9
Verificações finais (checar consistência):
- Coluna
: . - Coluna
: . - Soma de todas as células =
.
Tudo fecha.