Em certa região, a previsão do tempo é realizada independentemente por dois postos meteorológicos, um da Aeronáutica e outro da Marinha. Considerem-se os seguintes eventos, relacionados com a previsão do tempo para certo dia naquela região.
\mathrm{M}= “O posto da Marinha preverá tempo bom”;
\mathrm{A}= “O posto da Aeronáutica preverá tempo bom”;
\mathrm{T}= “O tempo será bom”.
Pesquisas anteriores permitem estimar as seguintes probabilidades:
\begin{array}{lll} \mathrm{P}(\mathrm{MAT})=0,50 & \mathrm{P}(\mathrm{MA})=0,60 & \mathrm{P}(\mathrm{M})=0,67 \quad \mathrm{P}(\mathrm{~A})=0,67 \\\ \mathrm{P}(\mathrm{MT})=0,55 & \mathrm{P}(\mathrm{AT})=0,53 & \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \overline{\mathrm{~A}} \mathrm{~T})=0,06 \end{array}
Calcular as probabilidades dos seguintes eventos:
“Apenas um dos dois postos preverá tempo bom”;

Passo 1

Primeiro vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Definições de eventos:
  • M = “o posto da Marinha preverá tempo bom”.
  • A = “o posto da Aeronáutica preverá tempo bom”.
  • T = “o tempo será bom”.
Probabilidades fornecidas (peguei todos estes valores do enunciado):
\begin{aligned} &\mathrm{P}(M\cap A\cap T)=0,50,\\\ &\mathrm{P}(M\cap A)=0,60,\\\ &\mathrm{P}(M)=0,67,\quad \mathrm{P}(A)=0,67,\\\ &\mathrm{P}(M\cap T)=0,55,\quad \mathrm{P}(A\cap T)=0,53,\\\ &\mathrm{P}(\overline{M}\cap\overline{A}\cap\overline{T})=0,06. \end{aligned}
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade do evento “Apenas um dos dois postos preverá tempo bom”, isto é, que exatamente um dos postos (Marinha ou Aeronáutica) preveja tempo bom nesse dia.

Passo 2

Defino o evento pedido de forma matemática. “Apenas um dos dois postos preverá tempo bom” significa que ou só M ocorre e A não, ou só A ocorre e M não. Logo o evento é
E = (M\cap \overline{A}) \;\cup\; (\overline{M}\cap A).
Esses dois subconjuntos são disjuntos (não podem ocorrer simultaneamente), então para calcular \mathrm{P}(E) posso somar as probabilidades:
\mathrm{P}(E)=\mathrm{P}(M\cap \overline{A})+\mathrm{P}(\overline{M}\cap A).

Passo 3

Vou calcular \mathrm{P}(M\cap \overline{A}). Observação: o evento M se decompõe em M=(M\cap A)\cup (M\cap\overline{A}) com união disjunta. Portanto
\mathrm{P}(M)=\mathrm{P}(M\cap A)+\mathrm{P}(M\cap \overline{A}).
Isolando a parcela que quero:
\mathrm{P}(M\cap \overline{A})=\mathrm{P}(M)-\mathrm{P}(M\cap A).
Substituindo os valores dados:
\mathrm{P}(M\cap \overline{A})=0,67-0,60=0,07.

Passo 4

De modo análogo, para \mathrm{P}(\overline{M}\cap A) uso que
\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(M\cap A)+\mathrm{P}(\overline{M}\cap A),
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\mathrm{P}(\overline{M}\cap A)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(M\cap A).
Substituindo:
\mathrm{P}(\overline{M}\cap A)=0,67-0,60=0,07.

Passo 5

Somando as duas probabilidades (porque são disjuntas) obtenho a probabilidade pedida:
\mathrm{P}(E)=\mathrm{P}(M\cap \overline{A})+\mathrm{P}(\overline{M}\cap A)=0,07+0,07=0,14.

Resposta

0,14

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