Em certa cidade são editados três jornais: A, B e C. Seja H um habitante dessa cidade. Representar, pela álgebra de eventos, os seguintes acontecimentos:
“H lê pelo menos dois dos jornais”;
“H lê pelo menos dois dos jornais”;
Passo 1
O enunciado pede para representar, usando álgebra de eventos, o acontecimento “H lê pelo menos dois dos jornais” quando na cidade há três jornais: A, B e C.
Vamos anotar as informações dadas de forma precisa (peguei estas convenções do enunciado):
Vamos anotar as informações dadas de forma precisa (peguei estas convenções do enunciado):
-
= “H lê o jornal A”. -
= “H lê o jornal B”. -
= “H lê o jornal C”.
O que se pede: escrever, em símbolos de álgebra de eventos (união, interseção, complemento), o evento correspondente a “H lê pelo menos dois dos jornais”.
Passo 2
Entender a frase “pelo menos dois” é o primeiro passo mental: isso significa “lê exatamente dois” ou “lê os três”. Em símbolos:
- “exatamente dois” corresponde à união dos três casos em que lê dois jornais e não o terceiro, ou seja:
Aqui significa “não lê C” (complemento de ), e similar para . - “lê os três” é simplesmente:
Passo 3
Reunindo “exatamente dois” e “os três” temos imediatamente a expressão completa:
Esta expressão está correta, mas dá para simplificar usando álgebra de conjuntos.
Passo 4
Observe a simplificação por pares. Por exemplo, junte os dois termos que envolvem
:
Como
é o universo
(ou seja, “ou lê C ou não lê C” é sempre verdade), segue que
Passo 5
Fazendo a mesma ideia para os outros pares, os quatro termos da expressão do Passo 3 se reduzem a três termos mais simples:
Portanto a união dos quatro termos originais é igual à união das três interseções par a par:
Passo 6
Interpretação prática: cada termo
representa “lê A e B (independentemente de C)”; assim a união dos três pares significa “lê pelo menos um dos pares (A e B) ou (A e C) ou (B e C)”, que é exatamente “lê pelo menos dois jornais”. Note também que a interseção tripla
está implícita porque está contida em cada interseção par.