Em certa cidade são editados três jornais: A, B e C. Seja H um habitante dessa cidade. Representar, pela álgebra de eventos, os seguintes acontecimentos:
“H lê pelo menos dois dos jornais”;

Passo 1

O enunciado pede para representar, usando álgebra de eventos, o acontecimento “H lê pelo menos dois dos jornais” quando na cidade há três jornais: A, B e C.
Vamos anotar as informações dadas de forma precisa (peguei estas convenções do enunciado):
  • A = “H lê o jornal A”.
  • B = “H lê o jornal B”.
  • C = “H lê o jornal C”.
O que se pede: escrever, em símbolos de álgebra de eventos (união, interseção, complemento), o evento correspondente a “H lê pelo menos dois dos jornais”.

Passo 2

Entender a frase “pelo menos dois” é o primeiro passo mental: isso significa “lê exatamente dois” ou “lê os três”. Em símbolos:
  • “exatamente dois” corresponde à união dos três casos em que lê dois jornais e não o terceiro, ou seja: (A\cap B\cap C^{c})\\ \cup\\ (A\cap C\cap B^{c})\\ \cup\\ (B\cap C\cap A^{c}).Aqui C^{c} significa “não lê C” (complemento de C), e similar para A^{c},B^{c}.
  • “lê os três” é simplesmente: A\cap B\cap C.

Passo 3

Reunindo “exatamente dois” e “os três” temos imediatamente a expressão completa:
(A\cap B\cap C^{c})\\ \cup\\ (A\cap C\cap B^{c})\\ \cup\\ (B\cap C\cap A^{c})\\ \cup\\ (A\cap B\cap C).
Esta expressão está correta, mas dá para simplificar usando álgebra de conjuntos.

Passo 4

Observe a simplificação por pares. Por exemplo, junte os dois termos que envolvem A\cap B:
(A\cap B\cap C^{c})\\ \cup\\ (A\cap B\cap C) = A\cap B\cap (C^{c}\cup C).
Como C^{c}\cup C é o universo \Omega (ou seja, “ou lê C ou não lê C” é sempre verdade), segue que
A\cap B\cap (C^{c}\cup C)=A\cap B.

Passo 5

Fazendo a mesma ideia para os outros pares, os quatro termos da expressão do Passo 3 se reduzem a três termos mais simples:
A\cap B,\qquad A\cap C,\qquad B\cap C.
Portanto a união dos quatro termos originais é igual à união das três interseções par a par:
(A\cap B)\\ \cup\\ (A\cap C)\\ \cup\\ (B\cap C).

Passo 6

Interpretação prática: cada termo A\cap B representa “lê A e B (independentemente de C)”; assim a união dos três pares significa “lê pelo menos um dos pares (A e B) ou (A e C) ou (B e C)”, que é exatamente “lê pelo menos dois jornais”. Note também que a interseção tripla A\cap B\cap C está implícita porque está contida em cada interseção par.

Resposta

(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)

Exercícios relacionados