Em certa região, a previsão do tempo é realizada independentemente por dois postos meteorológicos, um da Aeronáutica e outro da Marinha. Considerem-se os seguintes eventos, relacionados com a previsão do tempo para certo dia naquela região. \mathrm{M}= “O posto da Marinha preverá tempo bom”; \mathrm{A}= “O posto da Aeronáutica preverá tempo bom”; \mathrm{T}= “O tempo será bom”.
Pesquisas anteriores permitem estimar as seguintes probabilidades:
Calcular a probabilidade do evento “o tempo será bom e o posto da Marinha preverá o contrário do que preverá o posto da Aeronáutica”.
Passo 2
Traduzir o evento pedido em notação de conjuntos/probabilidades.
“Marinha preverá o contrário do que a Aeronáutica preverá” significa que as previsões são diferentes; isto é o evento(M\cap\overline{A})\\ \cup\\ (\overline{M}\cap A).
Queremos a ocorrência disso conjuntamente com “o tempo será bom” (T). Então o evento pedido éE = T\cap\big( (M\cap\overline{A})\cup(\overline{M}\cap A)\big).
Expandindo (e usando que as duas partes são disjuntas), podemos escreverE = (M\cap\overline{A}\cap T)\\ \cup\\ (\overline{M}\cap A\cap T).
Passo 3
Observação sobre desintegração (partição) e disjunção: as duas partes (M\cap\overline{A}\cap T) e (\overline{M}\cap A\cap T) são mutuamente exclusivas (impossível ocorrerem simultaneamente), logo
Para encontrar cada parcela usamos a ideia de particionar por A ou \overline{A} (ou por M e \overline{M}) dentro do evento com T.
Passo 4
Calcular \mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T) a partir de probabilidades dadas.
Note que M\cap T é a união disjunta de (M\cap A\cap T) e (M\cap\overline{A}\cap T). Portanto\mathrm{P}(M\cap T)=\mathrm{P}(M\cap A\cap T)+\mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T).
Isolando a parcela que queremos:\mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T)=\mathrm{P}(M\cap T)-\mathrm{P}(M\cap A\cap T).
Substituindo os valores dados (\mathrm{P}(M\cap T)=0,55 e \mathrm{P}(M\cap A\cap T)=0,50):\mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T)=0,55-0,50.
Passo 5
Calcular \mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T) de maneira análoga.
Observação: A\cap T é a união disjunta de (M\cap A\cap T) e (\overline{M}\cap A\cap T). Assim\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)=\mathrm{P}(A\cap T)-\mathrm{P}(M\cap A\cap T).
Substituindo os valores dados (\mathrm{P}(A\cap T)=0,53 e \mathrm{P}(M\cap A\cap T)=0,50):\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)=0,53-0,50.
Passo 6
Escrever a probabilidade total do evento pedido usando os resultados dos passos anteriores (sem somar ainda, conforme pedido final será só na seção de resposta):