Em certa região, a previsão do tempo é realizada independentemente por dois postos meteorológicos, um da Aeronáutica e outro da Marinha. Considerem-se os seguintes eventos, relacionados com a previsão do tempo para certo dia naquela região.
\mathrm{M}= “O posto da Marinha preverá tempo bom”;
\mathrm{A}= “O posto da Aeronáutica preverá tempo bom”;
\mathrm{T}= “O tempo será bom”.
Pesquisas anteriores permitem estimar as seguintes probabilidades:
\begin{array}{lll} \mathrm{P}(\mathrm{MAT})=0,50 & \mathrm{P}(\mathrm{MA})=0,60 & \mathrm{P}(\mathrm{M})=0,67 \quad \mathrm{P}(\mathrm{~A})=0,67 \\\ \mathrm{P}(\mathrm{MT})=0,55 & \mathrm{P}(\mathrm{AT})=0,53 & \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \overline{\mathrm{~A}} \mathrm{~T})=0,06 \end{array}
Calcular as probabilidades dos seguintes eventos:
“O tempo será bom e o posto da Marinha preverá o contrário do que preverá o posto da Aeronáutica”.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede (pega-se cada número do enunciado):
  • Eventos dados:
    • M = “Marinha prevê tempo bom”.
    • A = “Aeronáutica prevê tempo bom”.
    • T = “O tempo será bom”.
  • Probabilidades fornecidas (retiradas do enunciado):
    • \mathrm{P}(M\cap A\cap T)=0,50.
    • \mathrm{P}(M\cap A)=0,60.
    • \mathrm{P}(M)=0,67.
    • \mathrm{P}(A)=0,67.
    • \mathrm{P}(M\cap T)=0,55.
    • \mathrm{P}(A\cap T)=0,53.
    • \mathrm{P}(\overline{M}\cap\overline{A}\cap\overline{T})=0,06.
  • O que é pedido:
    • Calcular a probabilidade do evento “o tempo será bom e o posto da Marinha preverá o contrário do que preverá o posto da Aeronáutica”.

Passo 2

Traduzir o evento pedido em notação de conjuntos/probabilidades.
  • “Marinha preverá o contrário do que a Aeronáutica preverá” significa que as previsões são diferentes; isto é o evento (M\cap\overline{A})\\ \cup\\ (\overline{M}\cap A).
  • Queremos a ocorrência disso conjuntamente com “o tempo será bom” ( T). Então o evento pedido é E = T\cap\big( (M\cap\overline{A})\cup(\overline{M}\cap A)\big).
  • Expandindo (e usando que as duas partes são disjuntas), podemos escrever E = (M\cap\overline{A}\cap T)\\ \cup\\ (\overline{M}\cap A\cap T).

Passo 3

Observação sobre desintegração (partição) e disjunção: as duas partes (M\cap\overline{A}\cap T) e (\overline{M}\cap A\cap T) são mutuamente exclusivas (impossível ocorrerem simultaneamente), logo
\mathrm{P}(E)=\mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T)+\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T).
Para encontrar cada parcela usamos a ideia de particionar por A ou \overline{A} (ou por M e \overline{M}) dentro do evento com T.

Passo 4

Calcular \mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T) a partir de probabilidades dadas.
  • Note que M\cap T é a união disjunta de (M\cap A\cap T) e (M\cap\overline{A}\cap T). Portanto \mathrm{P}(M\cap T)=\mathrm{P}(M\cap A\cap T)+\mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T).
  • Isolando a parcela que queremos: \mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T)=\mathrm{P}(M\cap T)-\mathrm{P}(M\cap A\cap T).
  • Substituindo os valores dados ( \mathrm{P}(M\cap T)=0,55 e \mathrm{P}(M\cap A\cap T)=0,50): \mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T)=0,55-0,50.

Passo 5

Calcular \mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T) de maneira análoga.
  • Observação: A\cap T é a união disjunta de (M\cap A\cap T) e (\overline{M}\cap A\cap T). Assim \mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)=\mathrm{P}(A\cap T)-\mathrm{P}(M\cap A\cap T).
  • Substituindo os valores dados ( \mathrm{P}(A\cap T)=0,53 e \mathrm{P}(M\cap A\cap T)=0,50): \mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)=0,53-0,50.

Passo 6

Escrever a probabilidade total do evento pedido usando os resultados dos passos anteriores (sem somar ainda, conforme pedido final será só na seção de resposta):
\mathrm{P}(E)=\mathrm{P}(M\cap\overline{A}\cap T)+\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)=\big(0,55-0,50\big)+\big(0,53-0,50\big).

Resposta

0,08

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